反比

1重點摘要 Summary

學什麼是反比，知道兩個數怎樣一增一減。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：反比是什麼反比描述兩個量一增一減的關係：x 變大時 y 隨之變小，x 變小時 y 隨之變大，而且兩者的乘積永遠不變。日常例子很多：路程固定時，走得越快，所需時間越短，所以速度與時間成反比；又如完成工程，人手越多，所需日子越少。判斷反比的關鍵不是「一增一減」四個字，而是要驗證乘積是否固定不變，這一點在判斷方法一步會再詳細說明。
2. 第二步：反比公式 xy = k反比可用方程 xy = k 表示，其中 k 稱為反比常數，是一個固定不變的數。這條式子說明：無論 x、y 如何變化，兩者相乘永遠等於 k。它亦可寫成 y = k/x 的形式，清楚顯示 y 與 x 成反比。與正比 y = kx 比較，最大分別在於正比是相除不變（y ÷ x = k），反比是相乘不變，兩條公式不可混淆，作答前先想清楚題目屬於哪一種比例。
3. 第三步：怎樣求 k只要知道一對對應的 x 和 y，就能求出 k：把兩數相乘即可。例如已知 x = 2 時 y = 10，則 k = 2 × 10 = 20，即 xy = 20。這一步是反比題目的固定起手式：先從題目提供的條件中取出一對 (x, y)，相乘得 k，再寫出完整的反比方程。求出 k 後宜立即寫明 xy = 20 這類具體式子，方便下一步代入，也令閱卷者看得清楚明白。
4. 第四步：怎樣求未知數有了 xy = k，要求任何 x 對應的 y，只需計算 y = k ÷ x。例如已知 xy = 20，當 x = 5 時，y = 20 ÷ 5 = 4。本課例題正是這個流程：x = 4 時 y = 6，先得 k = 4 × 6 = 24；再代入 x = 8，得 y = 24 ÷ 8 = 3。注意 x 翻倍時 y 會減半（6 變 3），這種「倍數相反」的檢驗方法能快速判斷答案是否合理。
5. 第五步：反比圖像把反比關係畫在坐標平面上，得到的是一條彎曲的雙曲線，而不是直線。曲線有兩個重要特徵：第一，它不會穿過 x 軸或 y 軸，因為 x = 0 或 y = 0 時乘積為零，不可能等於非零的 k；第二，k 越大，曲線離原點越遠。這與正比那條穿過原點的直線形成鮮明對比，考試常以選擇題形式考圖像辨認；記緊 k > 0 時反比曲線只會出現在第一和第三象限。
6. 第六步：判斷方法與常見例子做應用題前，應先判斷兩個量是否真的成反比。檢驗方法：抽兩組對應數值相乘，乘積相同才成反比，例如 x = 2 時 y = 12、x = 3 時 y = 8，乘積都是 24，故成反比；若 x = 3 時 y = 10，乘積變成 30，就不是反比。常見例子還有：工作總量固定，人數越多時間越少；分餅時人數越多，每人分得越少；受力固定時，接觸面積越大，壓強越小。僅有一增一減並不足以斷定反比，必須乘積不變。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 反比：xy = k
• k = x × y（常數）
• x 變大 y 變小
• 圖像是曲線
• 生活很多例子