正比

1重點摘要 Summary

學什麼是正比，知道兩個數怎樣一起變大變小。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：正比例的意義正比例描述兩個量之間的關係：若 x 增大時 y 按同一比例增大，x 減小時 y 按同一比例減小，且兩量的比值 y/x 永遠保持不變，則 y 與 x 成正比例。例如單價 5 元的蘋果，買 2 個付 10 元，買 4 個付 20 元，102 與 204 都等於 5。為什麼比值不變如此重要？因為它保證兩量同時放大或縮小相同的倍數。常見錯法是只見兩量同增便斷定成正比，其實須檢驗比值是否恆定。
2. 第二步：正比例的表達式正比例關係可寫成 y = kx，其中 k 是不變的常數，稱為比例常數，表示 y 恆為 x 的 k 倍。例如蘋果每個 5 元，買 x 個的總價 y = 5x，此時 k = 5；又如時薪 60 元，工作 x 小時的工資 y = 60x，k = 60。為什麼要引入 k？因為它把比例關係具體化成一個可以求出的數，使問題可以計算。常見錯法是把 y = kx 與 y = x + k 混淆，後者只是每次加一個固定數，並非正比例。
3. 第三步：求比例常數 k只要知道一對對應的 x 與 y 值，便可由 k = y ÷ x 求出比例常數。例如已知 x = 2 時 y = 10，則 k = 10 ÷ 2 = 5，關係式即 y = 5x；再驗證另一組數據，若 x = 3 時 y = 15，比值 153 仍是 5，確認成正比。為什麼要多驗一組？因為單憑一對數據無法確認比值恆定，兩組以上都吻合才穩妥。常見錯法是把 k = y ÷ x 誤寫成 k = x ÷ y，得出倒數，之後的計算便全部出錯。
4. 第四步：求對應的未知數求得 k 之後，關係式便完全確定，可求任何 x 對應的 y，或任何 y 對應的 x。例如已知 y = 5x，當 x = 10 時，y = 5 × 10 = 50；反過來，若已知 y = 35，則 x = 35 ÷ 5 = 7。為什麼這樣有效？因為正比例中每對數值都滿足同一條方程，知道其一便能推出其二。常見錯法是求出 y 之後忘記寫單位，或把新數值代回舊比例式而非已求得的關係式，令答案前後不一致。
5. 第五步：正比例的圖像把正比例關係 y = kx 畫在坐標圖上，所得是一條經過原點 (0, 0) 的直線，斜率就是 k。例如 y = 5x 的圖像經過 (0, 0)、(1, 5)、(2, 10) 三點，連成直線。為什麼必須過原點？因為 x = 0 時 y = k × 0 = 0，這是正比例的必然結果；若直線不過原點，例如 y = 5x + 2，兩量便不成正比。常見錯法是只檢查圖像是否直線而忽略原點，直線不過原點時並非正比例關係。
6. 第六步：生活與應用例子正比例在生活與科學中隨處可見：速度不變時，路程與時間成正比，例如時速 60 公里，2 小時行 120 公里，4 小時行 240 公里；時薪不變時，總工資與工作時數成正比；密度不變時，質量與體積成正比；同一貨品的總價與數量成正比。為什麼要熟悉這些例子？因為應用題的文字描述需要先辨認出正比例結構才能列式。常見錯法是把反比例情境誤判為正比例，例如人數越多完工日子越少，那是反比例。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 正比：y = kx
• k = y ÷ x（常數）
• x 變大 y 都變大
• 圖像是穿原點的直線
• 生活很多例子