反比

1重点摘要 Summary

学什么是反比，知道两个数怎样一增一减。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：反比是什么反比描述两个量一增一减的关系：x 变大时 y 随之变小，x 变小时 y 随之变大，而且两者的乘积永远不变。日常例子很多：路程固定时，走得越快，所需时间越短，所以速度与时间成反比；又如完成工程，人手越多，所需日子越少。判断反比的关键不是「一增一减」四个字，而是要验证乘积是否固定不变，这一点在判断方法一步会再详细说明。
2. 第二步：反比公式 xy = k反比可用方程 xy = k 表示，其中 k 称为反比常数，是一个固定不变的数。这条式子说明：无论 x、y 如何变化，两者相乘永远等于 k。它亦可写成 y = k/x 的形式，清楚显示 y 与 x 成反比。与正比 y = kx 比较，最大分别在于正比是相除不变（y ÷ x = k），反比是相乘不变，两条公式不可混淆，作答前先想清楚题目属于哪一种比例。
3. 第三步：怎样求 k只要知道一对对应的 x 和 y，就能求出 k：把两数相乘即可。例如已知 x = 2 时 y = 10，则 k = 2 × 10 = 20，即 xy = 20。这一步是反比题目的固定起手式：先从题目提供的条件中取出一对 (x, y)，相乘得 k，再写出完整的反比方程。求出 k 后宜立即写明 xy = 20 这类具体式子，方便下一步代入，也令阅卷者看得清楚明白。
4. 第四步：怎样求未知数有了 xy = k，要求任何 x 对应的 y，只需计算 y = k ÷ x。例如已知 xy = 20，当 x = 5 时，y = 20 ÷ 5 = 4。本课例题正是这个流程：x = 4 时 y = 6，先得 k = 4 × 6 = 24；再代入 x = 8，得 y = 24 ÷ 8 = 3。注意 x 翻倍时 y 会减半（6 变 3），这种「倍数相反」的检验方法能快速判断答案是否合理。
5. 第五步：反比图像把反比关系画在坐标平面上，得到的是一条弯曲的双曲线，而不是直线。曲线有两个重要特征：第一，它不会穿过 x 轴或 y 轴，因为 x = 0 或 y = 0 时乘积为零，不可能等于非零的 k；第二，k 越大，曲线离原点越远。这与正比那条穿过原点的直线形成鲜明对比，考试常以选择题形式考图像辨认；记紧 k > 0 时反比曲线只会出现在第一和第三象限。
6. 第六步：判断方法与常见例子做应用题前，应先判断两个量是否真的成反比。检验方法：抽两组对应数值相乘，乘积相同才成反比，例如 x = 2 时 y = 12、x = 3 时 y = 8，乘积都是 24，故成反比；若 x = 3 时 y = 10，乘积变成 30，就不是反比。常见例子还有：工作总量固定，人数越多时间越少；分饼时人数越多，每人分得越少；受力固定时，接触面积越大，压强越小。仅有一增一减并不足以断定反比，必须乘积不变。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 反比：xy = k
• k = x × y（常数）
• x 变大 y 变小
• 图像是曲线
• 生活很多例子