恆等式應用

1重點摘要 Summary

學怎樣用之前學過的恆等式公式來做計算和因式分解。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：三條公式總結本課的三條恆等式必須記熟：(a + b)(a − b) = a² − b²，稱為平方差；(a + b)² = a² + 2ab + b²，稱為完全平方和；(a − b)² = a² − 2ab + b²，稱為完全平方差。留意三條公式的形狀：第一條是兩個括號一加一減；第二、三條是括號自乘，中間項是 +2ab 或 −2ab。記憶方法：平方差沒有中間項，完全平方的中間項是兩倍 ab，符號跟括號內的運算走。
2. 第二步：怎樣辨認用哪條選擇公式的判斷方法：見到兩個括號相乘，一個全加、一個全減，就用平方差；見到一個括號自己乘自己，就用完全平方公式；反過來，見到 a² − b² 的形狀，便因式分解成平方差；見到 a² ± 2ab + b²，便因式分解成完全平方。例子：x² − 9 是兩個平方相減，用平方差得 (x + 3)(x − 3)。辨認的關鍵是看項數和符號，不是看字母是什麼。
3. 第三步：用公式快速計數恆等式可以令心算更快。例子：計 99²，把 99 寫成 100 − 1，套用完全平方差：99² = (100 − 1)² = 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10000 − 200 + 1 = 9801，全程不用直式。再例：102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996，用平方差兩步完成。常見錯誤是把 (100 − 1)² 寫成 100² − 1²，漏了中間項 −200；完全平方公式必須有 2ab 項。
4. 第四步：用公式做因式分解因式分解是展開的反方向。例子：x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5)，用的是平方差；x² + 10x + 25 = x² + 2 × x × 5 + 5² = (x + 5)²，用的是完全平方和。步驟：先判斷形狀屬於哪條公式，再把 a、b 對號入座寫出答案。常見錯誤是把 x² + 10x + 25 正確分解成 (x + 5)(x + 5) 之後，一不小心又寫成 (x + 5)(x − 5)，符號錯了；檢查方法是展開一次驗證。
5. 第五步：常見考題類型考試常見四種題型：直接展開、因式分解、用公式速算、已知條件求值。最後一種的例子：已知 x + y = 5、xy = 6，求 x² + y²。方法：由完全平方和公式得 x² + y² = (x + y)² − 2xy = 5² − 2 × 6 = 25 − 12 = 13。這類題目的關鍵是把要求的式子改寫成已知條件的組合，不必求出 x 和 y 的個別值。記住 x² + y² = (x + y)² − 2xy 這條變形，考試經常用到。
6. 第六步：練習先是王道恆等式要記得熟，更要認得出哪個情況用哪條公式，這只能靠練習。建議每種題型至少做五題：展開、因式分解、速算、已知條件求值各一批；做錯的題目隔一兩天重做一次，直到一看見式子的形狀便知道方法。常見的複習錯誤是只看筆記不動手計算；數學是動手的科目，眼睛看懂不等於手會做。每課十分鐘，連續一星期，準確率便會明顯提升。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 三條公式要記得熟
• 先認形式再用公式
• 用公式計數快很多
• 因式分解都用得
• 多些練習先懂得靈活用