什麼是恆等式

1重點摘要 Summary

學什麼是恆等式，知道它和普通方程有什麼不同。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：恆等式是什麼恆等式是一條對任何數都成立的等式：不論把什麼數代入變數，等號兩邊永遠相等。例如 2(x+1) = 2x+2：代入 x = 1，左邊 = 2 × 2 = 4，右邊 = 2 + 2 = 4；代入 x = 5 則兩邊同為 12，兩次都成立。書寫恆等式時常用符號 ≡ 表示「永遠相等」，即 2(x+1) ≡ 2x+2。恆等式兩邊其實是同一條式子的兩種寫法，這是它與普通方程最大的分別。
2. 第二步：恆等式與方程的分別普通方程只有某些特定數值才成立：例如 x + 1 = 3，只有 x = 2 時成立，代入其他數便錯，這樣的等式稱為方程，x 是有待求出的未知數。恆等式則對所有數值都成立，兩邊是永遠相等的表達式，並不存在「解」的概念。判斷時可以自問：這條式子是用來解出特定 x 值，還是在說明兩式永遠相等？前者是方程，後者是恆等式，考試選擇題常拿 x + 1 = 3 與 2(x+1) = 2x+2 對比作答。
3. 第三步：怎樣驗證恆等式驗證一條等式是否恆等式，最快捷的方法是代入兩三個不同的數試算，宜包括正數、負數和零，若每次兩邊都相等，這條式子便很可能是恆等式。例如 3(x+2) = 3x+6，代入 x = 1 得兩邊都是 9，代入 x = 2 得兩邊都是 12。但要留意：代入只是檢驗，不是證明，因為不可能代盡所有數；要正式確認，必須用代數方法展開和化簡，這也是考試要求寫證明時唯一接受的方法。
4. 第四步：怎樣正式證明正式證明恆等式的標準格式：由等式其中一邊開始，展開括號、合併同類項，逐步化簡，直至得出另邊的式子，最後寫上結論。例如證明 2(x+1) = 2x+2：左邊 = 2(x+1) = 2x+2 = 右邊，故得證。過程中每一步只做一個動作，保持等號與文字說明清楚；不要兩邊同時變換，否則推理邏輯會混亂。本課例題 3(x+2) = 3x+6 的證明一行便完成：左邊展開得 3x+6，與右邊相同，所以是恆等式。
5. 第五步：常見恆等式例子其實在小學階段已接觸過不少恆等式：分配律 a(b+c) = ab+ac 對任何 a、b、c 都成立；加法結合律 (a+b)+c = a+(b+c) 亦然。本課之後將學到的乘法公式，例如平方差 (a+b)(a-b) = a²-b²、完全平方 (a+b)² = a²+2ab+b²，全部都是恆等式，因此才可以在任何題目中放心套用。要記住：凡被稱為「公式」的等式，都必須先被證明為恆等式，使用時才有依據。
6. 第六步：學恆等式的意義學恆等式是為之後的乘法公式打好基礎：平方差、完全平方這些公式本質上就是恆等式，日後做展開和因式分解時經常使用。理解「恆等式對任何數都成立」這個特性，便能解釋為何公式中的 a、b 可以代入任何值；同時，恆等式的證明訓練逐步推理和清楚表達的能力，這正是幾何證明與較深代數題的基本功。學好這一課，之後幾個代數課題會順利得多。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 恆等式對任何數都成立
• 方程只有某些數先對
• 驗證可以代入數字試
• 正式證明要用代數
• 以後學乘法公式都是恆等式