平方差公式

1重點摘要 Summary

學一條好重要的乘法公式，(a+b)(a-b) = a² - b²。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：認識平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²，即兩數之和乘以兩數之差，等於這兩數的平方相減。這是一條恆等式，對任何 a、b 都成立，可以放心直接套用。使用前要先認出形式：兩個二項式相乘，其中一項完全相同（都是 a），另一項只是正負號相反（+b 與 -b），缺少這個特徵就不能套用公式。
2. 第二步：為什麼公式成立用乘法展開即可解釋：(a+b)(a-b) = a×a - a×b + b×a - b×b = a² - ab + ab - b²。中間的 -ab 與 +ab 互相抵消，餘下 a² - b²。親手展開一次有助記憶公式的來源，也能說明為何中間兩項必定消失。理解了這個原理，日後即使忘記公式，也可以隨時重新推導出來，不必死記硬背，遇到相關證明題亦能應付自如。
3. 第三步：用公式展開見到 (a+b)(a-b) 的形式，無須逐項相乘，直接套公式即可。例如 (x+3)(x-3) = x² - 3² = x² - 9；本課例題 (x+6)(x-6) = x² - 6² = x² - 36。套用時先確認 a 與 b 各是什麼，再分別平方；若某項本身帶係數，如 2x，要整體加上括號後才平方，即 (2x)² = 4x²，切勿只平方數字部分而漏掉 x 的平方。
4. 第四步：用公式因式分解公式可以倒轉使用：見到 a² - b²，就寫成 (a+b)(a-b)，這正是因式分解。例如 x² - 16 = x² - 4² = (x+4)(x-4)，又如 x² - 9 = (x+3)(x-3)。分解前先檢查兩項是否都是完全平方，並養成先提取公因子的習慣，例如 2x² - 8 = 2(x² - 4) = 2(x+2)(x-2)，先提出公因子往往令式子簡單得多，也更容易看出平方差的結構。
5. 第五步：含係數的常見例子含係數的例子：(2x+5)(2x-5) = (2x)² - 5² = 4x² - 25；反向分解 9y² - 25 = (3y)² - 5² = (3y+5)(3y-5)。處理這類題目時，要把 2x 看成整體 a、5 看成整體 b，係數同樣要平方，所以 (2x)² = 4x² 而不是 2x²。練習時可由淺入深：先做 x² - 25，再做 4x² - 25，體會「整體思想」的用法。
6. 第六步：使用條件與易錯點使用平方差的兩個條件：兩項都是完全平方，而且是相減。若是相加，例如 x² + 9，就不能用這條公式分解，切記 a² + b² 無法分解為兩個一次因式。另外兩個易錯處：一是把結果寫成 a² + b²，減號變了加號；二是忘記平方，例如把 (x+6)(x-6) 寫成 x² - 6。溫習時把這三種錯法各檢查一遍，考試前逐一自問，印象會特別深刻。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
• 展開和因式分解都用得
• 一定要兩個平方相減
• 中間項會抵消
• a² + b² 用不到