完全平方公式

1重點摘要 Summary

學兩條乘法公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b²。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：兩條公式完全平方公式有兩條，必須一字不差地記熟：(a + b)² = a² + 2ab + b²；(a − b)² = a² − 2ab + b²。兩條的結構相同：頭尾都是平方項，中間是兩倍乘積 2ab；唯一分別是中間項的符號——括號內是加號，中間項取正；括號內是減號，中間項取負。頭尾兩項永遠是正的，因為任何數的平方都不是負數。這兩條公式是中學代數的基石，展開、因式分解、日後解二次方程都用得上，值得花時間把它們寫得又快又準。
2. 第二步：為什麼會是這樣公式可以由長乘法展開驗證，理解來源後更不易記錯。(a + b)² 意思是 (a + b)(a + b)：逐項相乘得 a×a + a×b + b×a + b×b = a² + ab + ab + b²，中間兩個 ab 相同，合併為 2ab，所以 (a + b)² = a² + 2ab + b²。同樣，(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²，注意負負得正，尾項 b² 仍是正數。用數字核對一次：a = 2、b = 3 時，(2 + 3)² = 25，而 2² + 2(2)(3) + 3² = 4 + 12 + 9 = 25，兩邊相等，公式無誤。
3. 第三步：怎樣用來展開見到 (a + b)² 或 (a − b)² 的形式，直接套公式，比逐項相乘快得多。例如 (x + 3)²：對應 a = x、b = 3，代入得 x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9。再練兩個：(y − 5)² = y² − 2(y)(5) + 5² = y² − 10y + 25；(2x + 1)² = (2x)² + 2(2x)(1) + 1² = 4x² + 4x + 1，注意 a 本身是 2x 時，平方要寫 (2x)² = 4x²，絕不是 2x²。三個例子恰好展示了三種常見形態：純變數、負號、係數頭，練熟之後一眼便能認出。
4. 第四步：怎樣用來因式分解公式倒轉用便是因式分解工具：見到 a² + 2ab + b² 就寫成 (a + b)²；見到 a² − 2ab + b² 就寫成 (a − b)²。以 x² + 6x + 9 為例：檢查三個條件——頭項 x² 是平方（x 的平方）、尾項 9 是平方（3²）、中項 6x 是否等於 2 × x × 3 = 6x；三個條件齊備，所以 x² + 6x + 9 = (x + 3)²。再練一個負號版本：x² − 8x + 16 = x² − 2(x)(4) + 4² = (x − 4)²。判斷口訣：先驗頭尾是否平方，再驗中項是否兩倍乘積，兩關都過才能套公式。
5. 第五步：常見錯誤完全平方公式最經典的錯誤是漏掉中間項：誤以為 (a + b)² = a² + b²。用數字立即拆穿：a = 2、b = 3 時，(2 + 3)² = 25，而 2² + 3² = 13，兩者相差 12，正是漏去的 2ab。正確寫法是 (x + 3)² = x² + 6x + 9，絕不是 x² + 9。第二類錯誤是平方係數時出錯：(2x)² = 4x²，不是 2x²。第三類是負號處理：(x − 3)² = x² − 6x + 9，中項帶負、尾項仍是正，寫成 x² − 6x − 9 便錯了。每次展開後數一數項數：完全平方式展開必定有三項。
6. 第六步：數字驗證技巧用具體數字檢驗公式，是保護自己的好習慣。做法：把一個小數字（如 1 或 2）代入變數，分別計算原式與展開式，兩邊必須相等。以 (x + 3)² = x² + 6x + 9 為例，代 x = 1：左邊 (1 + 3)² = 16，右邊 1 + 6 + 9 = 16，相等，展開正確；若右邊誤寫成 x² + 9，代 x = 1 得 10，與 16 不符，立刻知道出錯。這個技巧叫「數值檢驗」，考試最後幾分鐘特別有用：把答案代入檢查，只需三十秒，卻能救回整題分數。代兩個不同數字都相等，正確的把握便非常高。
7. 第七步：口訣與記憶法中文口訣幫助記憶：「首平方，尾平方，兩倍積放中央」——第一項平方放開頭，第二項平方放結尾，兩數相乘再乘 2 放中間；符號跟括號內的一致。配合結構記憶：完全平方式展開永遠三項，符號順序是「正、同括號、正」。還可以聯繫幾何：邊長 (a + b) 的正方形，可以割成 a²、b² 兩個正方形加兩個 ab 長方形，四塊面積合計 a² + 2ab + b²，公式由此而來。把代數式與圖形掛鉤，記憶更牢固，也明白公式並非人為規定，而是面積計算的必然結果。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 一定要有中間那項 2ab
• b² 永遠是正數
• 口訣：首平方，尾平方，兩倍積放中央