恒等式应用

1重点摘要 Summary

学怎样用之前学过的恒等式公式来做计算和因式分解。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：三条公式总结本课的三条恒等式必须记熟：(a + b)(a − b) = a² − b²，称为平方差；(a + b)² = a² + 2ab + b²，称为完全平方和；(a − b)² = a² − 2ab + b²，称为完全平方差。留意三条公式的形状：第一条是两个括号一加一减；第二、三条是括号自乘，中间项是 +2ab 或 −2ab。记忆方法：平方差没有中间项，完全平方的中间项是两倍 ab，符号跟括号内的运算走。
2. 第二步：怎样辨认用哪条选择公式的判断方法：见到两个括号相乘，一个全加、一个全减，就用平方差；见到一个括号自己乘自己，就用完全平方公式；反过来，见到 a² − b² 的形状，便因式分解成平方差；见到 a² ± 2ab + b²，便因式分解成完全平方。例子：x² − 9 是两个平方相减，用平方差得 (x + 3)(x − 3)。辨认的关键是看项数和符号，不是看字母是什么。
3. 第三步：用公式快速计数恒等式可以令心算更快。例子：计 99²，把 99 写成 100 − 1，套用完全平方差：99² = (100 − 1)² = 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10000 − 200 + 1 = 9801，全程不用直式。再例：102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996，用平方差两步完成。常见错误是把 (100 − 1)² 写成 100² − 1²，漏了中间项 −200；完全平方公式必须有 2ab 项。
4. 第四步：用公式做因式分解因式分解是展开的反方向。例子：x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5)，用的是平方差；x² + 10x + 25 = x² + 2 × x × 5 + 5² = (x + 5)²，用的是完全平方和。步骤：先判断形状属于哪条公式，再把 a、b 对号入座写出答案。常见错误是把 x² + 10x + 25 正确分解成 (x + 5)(x + 5) 之后，一不小心又写成 (x + 5)(x − 5)，符号错了；检查方法是展开一次验证。
5. 第五步：常见考题类型考试常见四种题型：直接展开、因式分解、用公式速算、已知条件求值。最后一种的例子：已知 x + y = 5、xy = 6，求 x² + y²。方法：由完全平方和公式得 x² + y² = (x + y)² − 2xy = 5² − 2 × 6 = 25 − 12 = 13。这类题目的关键是把要求的式子改写成已知条件的组合，不必求出 x 和 y 的个别值。记住 x² + y² = (x + y)² − 2xy 这条变形，考试经常用到。
6. 第六步：练习先是王道恒等式要记得熟，更要认得出哪个情况用哪条公式，这只能靠练习。建议每种题型至少做五题：展开、因式分解、速算、已知条件求值各一批；做错的题目隔一两天重做一次，直到一看见式子的形状便知道方法。常见的复习错误是只看笔记不动手计算；数学是动手的科目，眼睛看懂不等于手会做。每课十分钟，连续一星期，准确率便会明显提升。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 三条公式要记得熟
• 先认形式再用公式
• 用公式计数快很多
• 因式分解都用得
• 多些练习先懂得灵活用