正比

1重点摘要 Summary

学什么是正比，知道两个数怎样一起变大变小。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：正比例的意义正比例描述两个量之间的关系：若 x 增大时 y 按同一比例增大，x 减小时 y 按同一比例减小，且两量的比值 y/x 永远保持不变，则 y 与 x 成正比例。例如单价 5 元的苹果，买 2 个付 10 元，买 4 个付 20 元，102 与 204 都等于 5。为什么比值不变如此重要？因为它保证两量同时放大或缩小相同的倍数。常见错法是只见两量同增便断定成正比，其实须检验比值是否恒定。
2. 第二步：正比例的表达式正比例关系可写成 y = kx，其中 k 是不变的常数，称为比例常数，表示 y 恒为 x 的 k 倍。例如苹果每个 5 元，买 x 个的总价 y = 5x，此时 k = 5；又如时薪 60 元，工作 x 小时的工资 y = 60x，k = 60。为什么要引入 k？因为它把比例关系具体化成一个可以求出的数，使问题可以计算。常见错法是把 y = kx 与 y = x + k 混淆，后者只是每次加一个固定数，并非正比例。
3. 第三步：求比例常数 k只要知道一对对应的 x 与 y 值，便可由 k = y ÷ x 求出比例常数。例如已知 x = 2 时 y = 10，则 k = 10 ÷ 2 = 5，关系式即 y = 5x；再验证另一组数据，若 x = 3 时 y = 15，比值 153 仍是 5，确认成正比。为什么要多验一组？因为单凭一对数据无法确认比值恒定，两组以上都吻合才稳妥。常见错法是把 k = y ÷ x 误写成 k = x ÷ y，得出倒数，之后的计算便全部出错。
4. 第四步：求对应的未知数求得 k 之后，关系式便完全确定，可求任何 x 对应的 y，或任何 y 对应的 x。例如已知 y = 5x，当 x = 10 时，y = 5 × 10 = 50；反过来，若已知 y = 35，则 x = 35 ÷ 5 = 7。为什么这样有效？因为正比例中每对数值都满足同一条方程，知道其一便能推出其二。常见错法是求出 y 之后忘记写单位，或把新数值代回旧比例式而非已求得的关系式，令答案前后不一致。
5. 第五步：正比例的图像把正比例关系 y = kx 画在坐标图上，所得是一条经过原点 (0, 0) 的直线，斜率就是 k。例如 y = 5x 的图像经过 (0, 0)、(1, 5)、(2, 10) 三点，连成直线。为什么必须过原点？因为 x = 0 时 y = k × 0 = 0，这是正比例的必然结果；若直线不过原点，例如 y = 5x + 2，两量便不成正比。常见错法是只检查图像是否直线而忽略原点，直线不过原点时并非正比例关系。
6. 第六步：生活与应用例子正比例在生活与科学中随处可见：速度不变时，路程与时间成正比，例如时速 60 公里，2 小时行 120 公里，4 小时行 240 公里；时薪不变时，总工资与工作时数成正比；密度不变时，质量与体积成正比；同一货品的总价与数量成正比。为什么要熟悉这些例子？因为应用题的文字描述需要先辨认出正比例结构才能列式。常见错法是把反比例情境误判为正比例，例如人数越多完工日子越少，那是反比例。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 正比：y = kx
• k = y ÷ x（常数）
• x 变大 y 都变大
• 图像是穿原点的直线
• 生活很多例子