三角形全等

1重点摘要 Summary

学习什么是全等三角形，以及四个判定条件。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：全等的意义全等三角形是指形状与大小都完全相同的两个三角形，把其中一个平移、旋转或翻转后，可与另一个完全叠合；此时所有对应边相等、所有对应角相等，记作 ≅，例如三角形 ABC ≅ 三角形 DEF。为什么要学全等？因为它是几何证明的基础工具，证明线段或角相等时，往往透过证明两个三角形全等来达成。常见错法是只检查三个角相等便断定全等，其实大小可能不同，那只是相似。
2. 第二步：SSS 三边相等SSS 判定指两个三角形的三组对应边都相等，则两三角形全等。例如三角形 ABC 三边为 3、4、5，三角形 DEF 三边亦为 3、4、5，则两者全等。为什么三边足以固定形状？因为三条边的长度唯一确定三角形的大小与形状，如同用三根固定长度的木条钉成的框架不会变形。常见错法是把对应关系配错，例如把最长边对了短边；列式时应按大小顺序配对三组边。
3. 第三步：SAS 两边及夹角SAS 判定指两个三角形的两组对应边相等，且这两边的夹角也相等，则两三角形全等。例如 AB = DE = 3，AC = DF = 4，且夹角 ∠A = ∠D = 60°，则两三角形全等。为什么必须是夹角？因为角若不在两已知边之间，边与角的组合不能唯一固定三角形，可能画出两种不同的形状。常见错法是把非夹角当作夹角使用 SAS，这是考试最典型的陷阱；判断前应先确认角位于两边之间。
4. 第四步：ASA 两角及夹边ASA 判定指两个三角形的两组对应角相等，且这两角的夹边也相等，则两三角形全等。例如 ∠A = ∠D = 50°，∠B = ∠E = 60°，且夹边 AB = DE = 5，则两三角形全等。为什么夹边重要？因为两角相等只固定了形状，必须有一条边才能固定大小，夹边正好把两个角连接起来。常见错法是只写两角相等便宣称全等，漏掉夹边相等的条件，理由不完整会被扣分。
5. 第五步：AAS 两角及非夹边AAS 判定指两个三角形的两组对应角相等，且其中一组非夹边也相等，则两三角形全等。为什么它成立？因为三角形内角和为 180°，已知两角便可求第三角，于是 AAS 实际上可化为 ASA，结论相同。例如 ∠A = ∠D，∠B = ∠E，且 AC = DF（非夹边），先由内角和算出 ∠C = ∠F，再用 ASA 判定。常见错法是把 AAS 与 SSA 混为一谈，SSA 的相等边不在两角之间，不能保证全等。
6. 第六步：不能使用的条件有两个看似合理却无效的条件必须紧记：SSA（两边及非夹角）不能判定全等，因为同一组数据可画出两个不同的三角形；AAA（三角相等）也不能判定全等，因为三角相等只保证形状相同，即相似，大小可以不同，例如边长 3、4、5 与 6、8、10 的两个直角三角形三角对应相等却不全等。常见错法是误用这两个条件作证明理由，阅卷时会判为错误；务必只使用 SSS、SAS、ASA、AAS 四个有效判定。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 全等 = 形状一样大小一样
• SSS：三边相等
• SAS：两边夹角
• ASA：两角夹边
• SSA、AAA 不是判定条件