对顶角与平行线上的角

1重点摘要 Summary

学对顶角相等，以及平行线上同位角、内错角、同旁内角的性质。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：对顶角两条直线相交于一点时，形成四个角，其中不相邻、相对的两个角称为对顶角，对顶角必定相等。例如两线相交得 ∠1、∠2、∠3、∠4，则 ∠1 与 ∠3 是对顶角，∠2 与 ∠4 是对顶角，故 ∠1 = ∠3，∠2 = ∠4。为什么相等？因为 ∠1 与 ∠2 合成平角 180°，∠2 与 ∠3 也合成平角，两式比较即得 ∠1 = ∠3。常见错法是把相邻的角误当对顶角，相邻两角是互补而非相等。
2. 第二步：平行线与截线当一条直线（称为截线）穿过两条平行线时，共形成八个角，这些角之间有固定的关系，是本章的核心内容。必须先确认两条线平行，这些关系才成立；若两线不平行，以下各条性质全部无效。例如两条平行线被第三线所截，八个角实际上只有两个不同的度数。为什么只有两个度数？因为对顶角相等，加上同位角相等，所有角都归入两组。常见错法是不加证明便假设两线平行而套用性质。
3. 第三步：同位角相等同位角是指在截线的同一侧、且分别位于两条平行线相同位置的两个角，例如同在截线右方、同在平行线上方的一对。若两线平行，则同位角相等；反之，若同位角相等，亦可断定两线平行。例如截线与两平行线夹出 50° 与 50° 的一对同位角。为什么称为同位？因为两角在图中的相对位置完全一样，如同复制。常见错法是只看度数相近便判为同位角，必须按位置定义确认。
4. 第四步：内错角相等内错角是指夹在两条平行线之间、分别在截线两侧交错摆放的两个角，形状如字母 Z 的两个内角。若两线平行，则内错角相等；反之亦然。例如一对内错角分别是 70° 与 70°。为什么相等？因为它们各自与同一个同位角成对顶角或互补关系，经过传递便相等。作答时须分清「两直线平行，内错角相等」与「内错角相等，两直线平行」两个方向。常见错法是把 Z 形认错，应先描出 Z 字轮廓再读角。
5. 第五步：同旁内角互补同旁内角是指夹在两条平行线之间、且在截线同一侧的两个角，形状如字母 U 的两个内角。若两线平行，同旁内角的和为 180°，即互补，而不是相等。例如一对同旁内角是 65° 与 115°，65 + 115 = 180。为什么是互补？因为其中一角与某个同位角相等，而该同位角与另一角成邻角，合成平角。常见错法是沿用相等的直觉，把两个同旁内角写成一样；应紧记同旁内角相加才是 180°。
6. 第六步：判断平行的方法平行线的性质可以反向使用，成为判断两线平行的方法：若同位角相等，则两线平行；若内错角相等，则两线平行；若同旁内角互补，则两线平行。例如题目给出 ∠a = 120° 与 ∠b = 120° 且位置互为同位角，即可写「同位角相等，故两直线平行」。为什么要分清性质与判定？性质由平行推出角度，判定由角度推出平行，推理方向相反，作答的理由不可写反。常见错法是理由与结构错配，被扣步骤分。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 对顶角相等
• 平行线同位角相等
• 平行线内错角相等
• 平行线同旁内角互补
• 一定要平先用得