第20課《概率應用》

§課文原文 Passage

1重點摘要 Summary

期望次數 = 概率 × 總次數。擲骰子 60 次，預期擲到 1 有多少次？ = 16 × 60 = 10 次。學會用概率做預測。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1段：期望次數公式期望次數 = 概率 × 總次數，用來預測多次實驗中大約會出現多少次。例如擲骰子 30 次，預期擲到 6 多少次？擲到 6 的概率是 16，期望次數 = 16 × 30 = 5 次。為什麼可以這樣預測？因為每次擲到 6 的機會是六分之一，30 次合起來，理論上總次數的六分之一會落在 6 上面。它是理論上的平均數，不是保證。常見錯誤是把期望次數當成必定出現的次數；期望只表示長期平均，實驗結果可以多於也可以少於它，答題時用預期二字。
2. 第2段：抽球預測例如袋裡有 3 個紅球、7 個藍球，共 10 個。每次抽出後放回，再抽 50 次，預期抽中紅球多少次？抽中紅球的概率 = 310，期望次數 = 310 × 50 = 15 次。為什麼要留意「放回」這個條件？因為放回之後袋裡的組成不變，每次的概率都是 310，公式才成立；如果不放回，紅球會越抽越少，概率隨之改變，就不能這樣計算。常見錯誤是不看放回條件直接套公式；讀題時先確認每次實驗的條件是否相同，相同才用期望公式。
3. 第3段：概率用百分數天氣報告常用百分數表示概率：降雨概率 70%，意思是每 10 天這樣的天氣形勢下，大約有 7 天會下雨。例如未來 30 日，預期下雨多少日？期望日數 = 70% × 30 = 21 日。把百分數乘以總數，就得到期望的次數或日數。為什麼百分數可以直接乘？因為 70% 就是 0.7，0.7 × 30 = 21，與分數算法完全一致。常見錯誤是忘記把百分數化成小數或分數，直接用 70 × 30 = 2100；先轉換再乘，答案才是 21 日，完成後也檢查一下日數不能超過總日數。
4. 第4段：不一定剛好期望次數是理論平均值，實際結果不一定剛好等於它。例如擲硬幣 10 次，可能出現 4 次「公」，不是剛好 5 次，這是正常的波動，不是計算錯誤。為什麼次數多時預測更可靠？因為擲的次數越多，實際比例就越接近理論概率，偶然的偏差在整體中被攤薄，例如擲 1000 次，「公」的比例會很接近一半。常見錯誤是實驗結果與期望不同就認為概率算錯；短期偏離是正常的，判斷計算對錯要看過程，不是看個別一次的結果。
5. 第5段：加法原理（互斥事件）兩件不可能同時發生的事叫互斥事件，它們其中一件發生的概率等於兩個概率相加。例如擲骰子，擲到 1 或擲到 2 的概率 = 16 + 16 = 26 = 13，因為一次擲骰不會同時出現 1 和 2，兩件事互斥。為什麼可以相加？因為兩種結果各自獨佔一份機會，合起來就是兩份，機會可以合併計算。常見錯誤是對不互斥的事件亂用加法，例如「擲到雙數或擲到 2」，2 被算了兩次；先檢查兩件事能不能同時發生，能同時發生就不能直接相加。
6. 第6段：應用題：遊戲抽獎應用題：一個抽獎遊戲中獎概率是 15，玩 40 次預期中獎多少次？期望次數 = 15 × 40 = 8 次。答題時寫「預期中獎 8 次」，並且明白實際可能多於或少於 8 次，期望只是長期平均的預測。為什麼這類題在生活有用？因為商家宣傳與遊戲設計都用概率預測結果，看得懂期望值就能理性判斷，例如中獎概率 15 不代表玩 5 次必中一次。常見錯誤是把期望當成保證，或者忘記乘總次數；寫答案時保留預期二字，並寫清楚單位是次。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 期望次數 = 概率 × 總次數
• 概率可以用來預測
• 實際次數可能和期望有出入
• 次數越多，越接近期望值
• 互斥事件概率可以加起來