第20课《概率应用》

§课文原文 Passage

1重点摘要 Summary

期望次数 = 概率 × 总次数。掷骰子 60 次，预期掷到 1 有多少次？ = 16 × 60 = 10 次。学会用概率做预测。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第1段：期望次数公式期望次数 = 概率 × 总次数，用来预测多次实验中大约会出现多少次。例如掷骰子 30 次，预期掷到 6 多少次？掷到 6 的概率是 16，期望次数 = 16 × 30 = 5 次。为什么可以这样预测？因为每次掷到 6 的机会是六分之一，30 次合起来，理论上总次数的六分之一会落在 6 上面。它是理论上的平均数，不是保证。常见错误是把期望次数当成必定出现的次数；期望只表示长期平均，实验结果可以多于也可以少于它，答题时用预期二字。
2. 第2段：抽球预测例如袋里有 3 个红球、7 个蓝球，共 10 个。每次抽出后放回，再抽 50 次，预期抽中红球多少次？抽中红球的概率 = 310，期望次数 = 310 × 50 = 15 次。为什么要留意「放回」这个条件？因为放回之后袋里的组成不变，每次的概率都是 310，公式才成立；如果不放回，红球会越抽越少，概率随之改变，就不能这样计算。常见错误是不看放回条件直接套公式；读题时先确认每次实验的条件是否相同，相同才用期望公式。
3. 第3段：概率用百分数天气报告常用百分数表示概率：降雨概率 70%，意思是每 10 天这样的天气形势下，大约有 7 天会下雨。例如未来 30 日，预期下雨多少日？期望日数 = 70% × 30 = 21 日。把百分数乘以总数，就得到期望的次数或日数。为什么百分数可以直接乘？因为 70% 就是 0.7，0.7 × 30 = 21，与分数算法完全一致。常见错误是忘记把百分数化成小数或分数，直接用 70 × 30 = 2100；先转换再乘，答案才是 21 日，完成后也检查一下日数不能超过总日数。
4. 第4段：不一定刚好期望次数是理论平均值，实际结果不一定刚好等于它。例如掷硬币 10 次，可能出现 4 次「公」，不是刚好 5 次，这是正常的波动，不是计算错误。为什么次数多时预测更可靠？因为掷的次数越多，实际比例就越接近理论概率，偶然的偏差在整体中被摊薄，例如掷 1000 次，「公」的比例会很接近一半。常见错误是实验结果与期望不同就认为概率算错；短期偏离是正常的，判断计算对错要看过程，不是看个别一次的结果。
5. 第5段：加法原理（互斥事件）两件不可能同时发生的事叫互斥事件，它们其中一件发生的概率等于两个概率相加。例如掷骰子，掷到 1 或掷到 2 的概率 = 16 + 16 = 26 = 13，因为一次掷骰不会同时出现 1 和 2，两件事互斥。为什么可以相加？因为两种结果各自独占一份机会，合起来就是两份，机会可以合并计算。常见错误是对不互斥的事件乱用加法，例如「掷到双数或掷到 2」，2 被算了两次；先检查两件事能不能同时发生，能同时发生就不能直接相加。
6. 第6段：应用题：游戏抽奖应用题：一个抽奖游戏中奖概率是 15，玩 40 次预期中奖多少次？期望次数 = 15 × 40 = 8 次。答题时写「预期中奖 8 次」，并且明白实际可能多于或少于 8 次，期望只是长期平均的预测。为什么这类题在生活有用？因为商家宣传与游戏设计都用概率预测结果，看得懂期望值就能理性判断，例如中奖概率 15 不代表玩 5 次必中一次。常见错误是把期望当成保证，或者忘记乘总次数；写答案时保留预期二字，并写清楚单位是次。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 期望次数 = 概率 × 总次数
• 概率可以用来预测
• 实际次数可能和期望有出入
• 次数越多，越接近期望值
• 互斥事件概率可以加起来