第4課《百分數的增長與折舊》
進階百分數除了折扣和利息，還可以用來計算人口增長、汽車折舊、連續幾年的增長率。學會用乘數法（1 + r% 或 1 - r%）就好快。
學完呢課，你會識：
- 增長率 = (新值 - 舊值) ÷ 舊值 × 100%
- 新值 = 舊值 × (1 + 增長率)
- 折舊後價值 = 原值 × (1 - 折舊率)
文體小知識：百分數增長、折舊、連續增長的計算
讀呢課前，你應該識： 第3課《百分數的應用》
§課文原文 Passage
1百分數增長的意思：一個數量增加了百分之幾。例如人口由 100000 增加到 110000，增加了 10%。新值 = 舊值 × (1 + 增長率)。
2百分數折舊的意思：一個數值減少了百分之幾。例如一部車買入 $200000，每年折舊 20%，一年後價值 = $200000 × (1 - 20%) = $160000。
3連續增長：如果每年增長 10%，兩年後就不是只 20%，而是 (1.1)² = 1.21，即是 21%。因為第二年的增長是按第一年的新值計算，不是按原本的舊值。
1重點摘要 Summary
百分數除了折扣和利息，還可以用來計算人口增長、汽車折舊、連續幾年的增長率。學會用乘數法（1 + r% 或 1 - r%）就好快。
2生字卡 Vocabulary
g
growth rate名詞
增長的百分比
d
depreciation名詞
價值減少，例如汽車折舊
m
multiplier名詞
用來乘的數，例如 1.25 代表增加 25%
c
compound growth名詞
每年按新值計算的增長
o
original value名詞
原本的數值
n
new value名詞
增長或折舊之後的數值
p
percent increase名詞
增加了百分之幾
p
percent decrease名詞
減少了百分之幾
3逐步講解 Steps
- 第1段：增長率計算增長率的公式是：增長率 = (新值 − 舊值) ÷ 舊值 × 100%。例如舊值 50，新值 60，增長率 = (60 − 50) ÷ 50 = 10 ÷ 50 = 0.2 = 20%，即增加了 20%。為什麼分母是舊值？因為增長率衡量的是變化部分相對於原來數量的比例，原來的 50 是基準。例如店鋪會員由 400 人增至 460 人，增加 60 人，增長率 = 60 ÷ 400 = 0.15 = 15%。計算次序是先求差，再除以舊值，最後化成百分數。常見錯法：分母錯用新值 60，得出約 16.7%；增長率的基準永遠是變化前的舊值，寫算式時先把舊值標出來再除。
- 第2段：用乘數法找新值已知增長率求新值，用乘數法：新值 = 舊值 × (1 + 增長率)。例如舊值 80，增長 25%，新值 = 80 × 1.25 = 100。為什麼乘數是 1.25？因為新值由兩部分組成：原來的 100% 加上增長的 25%，合共 125%，即乘數 1.25。這個方法一步到位，與「先算增長量再加」結果相同：80 × 25% = 20，80 + 20 = 100。再例如 $500 增長 8%，新值 = $500 × 1.08 = $540。常見錯法：只用增長率相乘，算成 80 × 0.25 = 20 就當作新值；乘數必須是 1 加增長率，因為它代表「原來的加上增加的」，漏了 1 就只剩增長的部分。
- 第3段：折舊率計算折舊率的公式是：折舊率 = (舊值 − 新值) ÷ 舊值 × 100%。例如一部機器價值由 200 減到 150，折舊率 = (200 − 150) ÷ 200 = 50 ÷ 200 = 0.25 = 25%，即減少了 25%。為什麼叫折舊？因為貨物、機器、汽車隨使用年份增加而貶值，價值下降的幅度就用折舊率描述；它與增長率的算法正好相反，分母同樣是變化前的舊值。例如一部手機由 $3000 跌到 $2400，折舊率 = 600 ÷ 3000 = 20%。常見錯法：把分子寫成 (新值 − 舊值)，得出負數；先用大數減小數求出下降量，再除以舊值，答案取正數，並檢查折舊率應該小於 100%。
- 第4段：用乘數法找折舊後價值已知折舊率求新價值，用乘數法：新價值 = 原值 × (1 − 折舊率)。例如原值 1000，折舊 15%，新值 = 1000 × 0.85 = 850。為什麼乘數是 0.85？因為折舊 15% 之後剩下原來的 85%，即 100% − 15% = 85%，乘數 0.85 代表「剩下的部分」。對照增長的乘數 1.25：增長用加、折舊用減，符號正好相反。再例如 $200000 的汽車一年折舊 20%，一年後價值 = $200000 × 0.8 = $160000。常見錯法：誤用 1 + 15%，把價值算大；折舊後的價值一定小於原值，算完先檢查結果是否比原來小，方向錯了立刻能發現。
- 第5段：連續增長（複增長）連續增長不能把每年的增長率直接相加，要用次方：n 年後的值 = 原值 × (1 + r%) 的 n 次方。例如每年增長 10%，3 年後 = 100 × (1.1)³ = 100 × 1.331 = 133.1，增長了 33.1%，而不是 30%。為什麼不能直接用 30%？因為複增長是利疊利：第一年增長後的新值成為第二年的基準，第二年增長 10% 是按 110 計算，增加 11 而不是 10，三年累積下來就比 30% 多。折舊同理，每年用 (1 − r%) 連乘。常見錯法：把 10% × 3 = 30% 當作三年的總增長；只要增長按年複合，就必須逐年乘以乘數，或者用次方一次算出。
- 第6段：找原值已知新值和增長率或折舊率，求原值用除法：原值 = 新值 ÷ 乘數。例如某數增加 20% 之後是 120，乘數 = 1.2，原值 = 120 ÷ 1.2 = 100；又如一部機器折舊 25% 後值 $1500，乘數 = 0.75，原值 = $1500 ÷ 0.75 = $2000。為什麼用除法？因為新值 = 原值 × 乘數，已知積與乘數，用除法還原被乘數。驗算：100 × 1.2 = 120，$2000 × 0.75 = $1500，都與題目相符。常見錯法：先減掉增長的百分數，算成 120 × 0.8 = 96；增加 20% 之後要還原，必須除以 1.2，因為 120 已經是變大之後的數，再用減法只會越減越少。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：一部汽車買入價 $150000，每年折舊 20%，兩年後它的價值是多少？
- 第一步：確定每年的乘數。折舊 20% 即每年剩下 80%，乘數 = 1 − 20% = 0.8。
- 第二步：計算第一年後的價值：$150000 × 0.8 = $120000。
- 第三步：計算第二年後的價值。注意第二年的基準是第一年後的新價值 $120000，不是原價：$120000 × 0.8 = $96000。
- 第四步：合併驗算。$150000 × 0.8 × 0.8 = $150000 × 0.64 = $96000，與逐年計算的結果一致。
- 答案：答：兩年後汽車的價值是 $96000。折舊 20% 即每年乘以 0.8：第一年 $150000 × 0.8 = $120000；第二年以新價值為基準，$120000 × 0.8 = $96000。折舊問題必須逐年計算，由第二年起基準改用上一年的新價值，不能連續兩年都用原價，也不能直接用 20% × 2 = 40% 一次減掉。
6常見錯誤 Mistakes
✗ 連續兩年增長 10% = 總共 20%
✓ 是 21%（1.1 × 1.1 = 1.21）
✗ 增長率分母用新值
✓ 分母永遠用舊值
✗ 找原值用乘
✓ 找原值要用除（÷ 乘數）
✗ 折舊率當作新值的百分比
✓ 折舊率永遠是按原值計
75 題快測 Quick check
Q1人口由 50000 增加到 60000，增長率是多少%？
答案 Answer：20%
你答對嗎？
Q2原值 200，增加 15%，新值是多少？
答案 Answer：230
你答對嗎？
Q3原值 800，折舊 10%，新值是多少？
答案 Answer：720
你答對嗎？
Q4每年增長 10%，兩年後總增長率是多少%？
答案 Answer：21%
你答對嗎？
Q5增加 25% 之後是 250，原值是多少？
答案 Answer：200
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 增長率 = (新值 - 舊值) ÷ 舊值 × 100%
- 新值 = 舊值 × (1 + 增長率)
- 折舊後價值 = 原值 × (1 - 折舊率)
- 連續增長用乘數次方：(1 + r%)^n
- 找原值要用除，不好乘