第4课《百分数的增长与折旧》
进阶百分数除了折扣和利息，还可以用来计算人口增长、汽车折旧、连续几年的增长率。学会用乘数法（1 + r% 或 1 - r%）就好快。
学完呢课，你会识：
- 增长率 = (新值 - 旧值) ÷ 旧值 × 100%
- 新值 = 旧值 × (1 + 增长率)
- 折旧后价值 = 原值 × (1 - 折旧率)
文体小知识：百分数增长、折旧、连续增长的计算
读呢课前，你应该识： 第3课《百分数的应用》
§课文原文 Passage
1百分数增长的意思：一个数量增加了百分之几。例如人口由 100000 增加到 110000，增加了 10%。新值 = 旧值 × (1 + 增长率)。
2百分数折旧的意思：一个数值减少了百分之几。例如一部车买入 $200000，每年折旧 20%，一年后价值 = $200000 × (1 - 20%) = $160000。
3连续增长：如果每年增长 10%，两年后就不是只 20%，而是 (1.1)² = 1.21，即是 21%。因为第二年的增长是按第一年的新值计算，不是按原本的旧值。
1重点摘要 Summary
百分数除了折扣和利息，还可以用来计算人口增长、汽车折旧、连续几年的增长率。学会用乘数法（1 + r% 或 1 - r%）就好快。
2生字卡 Vocabulary
g
growth rate名词
增长的百分比
d
depreciation名词
价值减少，例如汽车折旧
m
multiplier名词
用来乘的数，例如 1.25 代表增加 25%
c
compound growth名词
每年按新值计算的增长
o
original value名词
原本的数值
n
new value名词
增长或折旧之后的数值
p
percent increase名词
增加了百分之几
p
percent decrease名词
减少了百分之几
3逐步讲解 Steps
- 第1段：增长率计算增长率的公式是：增长率 = (新值 − 旧值) ÷ 旧值 × 100%。例如旧值 50，新值 60，增长率 = (60 − 50) ÷ 50 = 10 ÷ 50 = 0.2 = 20%，即增加了 20%。为什么分母是旧值？因为增长率衡量的是变化部分相对于原来数量的比例，原来的 50 是基准。例如店铺会员由 400 人增至 460 人，增加 60 人，增长率 = 60 ÷ 400 = 0.15 = 15%。计算次序是先求差，再除以旧值，最后化成百分数。常见错法：分母错用新值 60，得出约 16.7%；增长率的基准永远是变化前的旧值，写算式时先把旧值标出来再除。
- 第2段：用乘数法找新值已知增长率求新值，用乘数法：新值 = 旧值 × (1 + 增长率)。例如旧值 80，增长 25%，新值 = 80 × 1.25 = 100。为什么乘数是 1.25？因为新值由两部分组成：原来的 100% 加上增长的 25%，合共 125%，即乘数 1.25。这个方法一步到位，与「先算增长量再加」结果相同：80 × 25% = 20，80 + 20 = 100。再例如 $500 增长 8%，新值 = $500 × 1.08 = $540。常见错法：只用增长率相乘，算成 80 × 0.25 = 20 就当作新值；乘数必须是 1 加增长率，因为它代表「原来的加上增加的」，漏了 1 就只剩增长的部分。
- 第3段：折旧率计算折旧率的公式是：折旧率 = (旧值 − 新值) ÷ 旧值 × 100%。例如一部机器价值由 200 减到 150，折旧率 = (200 − 150) ÷ 200 = 50 ÷ 200 = 0.25 = 25%，即减少了 25%。为什么叫折旧？因为货物、机器、汽车随使用年份增加而贬值，价值下降的幅度就用折旧率描述；它与增长率的算法正好相反，分母同样是变化前的旧值。例如一部手机由 $3000 跌到 $2400，折旧率 = 600 ÷ 3000 = 20%。常见错法：把分子写成 (新值 − 旧值)，得出负数；先用大数减小数求出下降量，再除以旧值，答案取正数，并检查折旧率应该小于 100%。
- 第4段：用乘数法找折旧后价值已知折旧率求新价值，用乘数法：新价值 = 原值 × (1 − 折旧率)。例如原值 1000，折旧 15%，新值 = 1000 × 0.85 = 850。为什么乘数是 0.85？因为折旧 15% 之后剩下原来的 85%，即 100% − 15% = 85%，乘数 0.85 代表「剩下的部分」。对照增长的乘数 1.25：增长用加、折旧用减，符号正好相反。再例如 $200000 的汽车一年折旧 20%，一年后价值 = $200000 × 0.8 = $160000。常见错法：误用 1 + 15%，把价值算大；折旧后的价值一定小于原值，算完先检查结果是否比原来小，方向错了立刻能发现。
- 第5段：连续增长（复增长）连续增长不能把每年的增长率直接相加，要用次方：n 年后的值 = 原值 × (1 + r%) 的 n 次方。例如每年增长 10%，3 年后 = 100 × (1.1)³ = 100 × 1.331 = 133.1，增长了 33.1%，而不是 30%。为什么不能直接用 30%？因为复增长是利叠利：第一年增长后的新值成为第二年的基准，第二年增长 10% 是按 110 计算，增加 11 而不是 10，三年累积下来就比 30% 多。折旧同理，每年用 (1 − r%) 连乘。常见错法：把 10% × 3 = 30% 当作三年的总增长；只要增长按年复合，就必须逐年乘以乘数，或者用次方一次算出。
- 第6段：找原值已知新值和增长率或折旧率，求原值用除法：原值 = 新值 ÷ 乘数。例如某数增加 20% 之后是 120，乘数 = 1.2，原值 = 120 ÷ 1.2 = 100；又如一部机器折旧 25% 后值 $1500，乘数 = 0.75，原值 = $1500 ÷ 0.75 = $2000。为什么用除法？因为新值 = 原值 × 乘数，已知积与乘数，用除法还原被乘数。验算：100 × 1.2 = 120，$2000 × 0.75 = $1500，都与题目相符。常见错法：先减掉增长的百分数，算成 120 × 0.8 = 96；增加 20% 之后要还原，必须除以 1.2，因为 120 已经是变大之后的数，再用减法只会越减越少。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
例题：一部汽车买入价 $150000，每年折旧 20%，两年后它的价值是多少？
- 第一步：确定每年的乘数。折旧 20% 即每年剩下 80%，乘数 = 1 − 20% = 0.8。
- 第二步：计算第一年后的价值：$150000 × 0.8 = $120000。
- 第三步：计算第二年后的价值。注意第二年的基准是第一年后的新价值 $120000，不是原价：$120000 × 0.8 = $96000。
- 第四步：合并验算。$150000 × 0.8 × 0.8 = $150000 × 0.64 = $96000，与逐年计算的结果一致。
- 答案：答：两年后汽车的价值是 $96000。折旧 20% 即每年乘以 0.8：第一年 $150000 × 0.8 = $120000；第二年以新价值为基准，$120000 × 0.8 = $96000。折旧问题必须逐年计算，由第二年起基准改用上一年的新价值，不能连续两年都用原价，也不能直接用 20% × 2 = 40% 一次减掉。
6常见错误 Mistakes
✗ 连续两年增长 10% = 总共 20%
✓ 是 21%（1.1 × 1.1 = 1.21）
✗ 增长率分母用新值
✓ 分母永远用旧值
✗ 找原值用乘
✓ 找原值要用除（÷ 乘数）
✗ 折旧率当作新值的百分比
✓ 折旧率永远是按原值计
75 题快测 Quick check
Q1人口由 50000 增加到 60000，增长率是多少%？
答案 Answer：20%
你答对吗？
Q2原值 200，增加 15%，新值是多少？
答案 Answer：230
你答对吗？
Q3原值 800，折旧 10%，新值是多少？
答案 Answer：720
你答对吗？
Q4每年增长 10%，两年后总增长率是多少%？
答案 Answer：21%
你答对吗？
Q5增加 25% 之后是 250，原值是多少？
答案 Answer：200
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 增长率 = (新值 - 旧值) ÷ 旧值 × 100%
- 新值 = 旧值 × (1 + 增长率)
- 折旧后价值 = 原值 × (1 - 折旧率)
- 连续增长用乘数次方：(1 + r%)^n
- 找原值要用除，不好乘