第5課《百分數進階應用》
進階百分數最高階的應用：計稅、買賣損益、複利息。這些都是小學六年級常考的題型，學會之後百分數單元就完成。
學完呢課，你會識：
- 連稅價 = 原價 × (1 + 稅率)
- 增益% = (賣價 - 成本) ÷ 成本 × 100%
- 虧蝕% = (成本 - 賣價) ÷ 成本 × 100%
文體小知識：百分數進階：稅項、增益虧蝕、複利息
讀呢課前，你應該識： 第4課《百分數的增長與折舊》
§課文原文 Passage
1稅項：買東西的時候要付稅。例如消費稅 10%，一件衫 $200，連稅價 = $200 × (1 + 10%) = $220。即是稅項是 $20。
2增益與虧蝕：買入貨之後賣出，賺了或者蝕了百分之幾。成本 $100，賣出 $120，增益 = (120-100)/100 = 20%。成本 $100，賣出 $80，虧蝕 = (100-80)/100 = 20%。
3複利息：每年利息會加入本金，下一年計利息的時候就用新本金。例如存 $1000，年息 5%，兩年後 = $1000 × (1.05)² = $1000 × 1.1025 = $1102.5。簡單利息就是每年都用 $1000 計。
1重點摘要 Summary
百分數最高階的應用：計稅、買賣損益、複利息。這些都是小學六年級常考的題型，學會之後百分數單元就完成。
2生字卡 Vocabulary
t
tax名詞
交給政府的錢
s
sales tax名詞
買東西時要付的稅
c
cost price名詞
買入成本
s
selling price名詞
賣出價錢
p
profit名詞
賺到的錢
l
loss名詞
蝕的錢
s
simple interest名詞
每年按原本本金計的利息
c
compound interest名詞
利息滾存，按新本金計
3逐步講解 Steps
- 第1段：稅項計算連稅價 = 原價 × (1 + 稅率)。例如原價 $500，稅率 8%，連稅價 = $500 × 1.08 = $540，其中稅款是 $40。為什麼乘 1.08 而不是 0.08？因為連稅價由兩部分組成：原價的 100% 加上稅款的 8%，合共 108%，即乘數 1.08。如果已知連稅價要還原原價，就用除法：原價 = $540 ÷ 1.08 = $500。再例如稅率 10% 的貨品原價 $200，連稅價 = $200 × 1.1 = $220，稅款 $20。常見錯法：把稅款當成連稅價，答成 $40；看清題目問的是稅款還是連稅價，兩者相差一個原價，答題之前先圈出問題的關鍵詞。
- 第2段：增益百分數增益百分數的公式是：增益% = (賣價 − 成本) ÷ 成本 × 100%。例如成本 $200，賣出 $250，增益 = (250 − 200) ÷ 200 = 50 ÷ 200 = 0.25 = 25%，即賺了 25%。為什麼分母是成本而不是賣價？因為盈虧以投入的本錢為基準，同樣賺 $50，本錢 $200 與本錢 $500 的賺幅截然不同，前者 25%，後者只有 10%。例如另一批貨成本 $400、賣出 $460，增益 = 60 ÷ 400 = 15%。常見錯法：用賣價做分母，算成 50 ÷ 250 = 20%，與正確答案 25% 不同；求增益百分數時，除數永遠是成本，寫算式前先把成本圈出來。
- 第3段：虧蝕百分數虧蝕百分數的公式是：虧蝕% = (成本 − 賣價) ÷ 成本 × 100%。例如成本 $200，賣出 $160，虧蝕 = (200 − 160) ÷ 200 = 40 ÷ 200 = 0.2 = 20%，即蝕了 20%。為什麼分母仍是成本？因為虧蝕衡量損失相對於本錢的比例，本錢是做生意時投入的基準，與增益百分數的基準一致，方便比較。例如另一件貨成本 $500、賣出 $450，虧蝕 = 50 ÷ 500 = 10%。賣價高於成本是增益，賣價低於成本是虧蝕，兩條公式互為鏡像，分子都是「賣價與成本的差」。常見錯法：把分子寫反，用賣價減成本得出負數；先判斷是賺還是蝕，再選用相應的公式。
- 第4段：簡單利息簡單利息的公式是：利息 = 本金 × 利率 × 年數。例如本金 $1000，年息 4%，存 3 年，利息 = $1000 × 4% × 3 = $120，本利和 = $1000 + $120 = $1120。為什麼叫「簡單」？因為每年都用原本的本金 $1000 計算利息，利息不滾存，每年都是 $40，三年三份，直接用乘法一次算出。對照銀行存摺上的「每年利息」一欄，單利息的金額年年相同，一眼就能核對。常見錯法：忘記乘年數，只算一年的 $40；或者把利息與本利和混淆，把 $120 與 $1120 顛倒作答；先分清題目問「利息」還是「本利和」，再寫答案。
- 第5段：複利息複利息的公式是：本利和 = 本金 × (1 + 利率) 的年數次方。例如本金 $1000，年息 4%，3 年後本利和 = $1000 × (1.04)³ = $1000 × 1.124864 = $1124.86。為什麼與簡單利息不同？因為複利息每年把利息加入本金，下一年按新本金計算：第一年利息 $40，本金變成 $1040；第二年利息 $41.60，本金再變大，利疊利，越滾越多，所以 3 年後比單利息的 $1120 多出 $4.86。常見錯法：用 4% × 3 = 12% 計算複利息；複利息必須逐年計算或者用次方，「利率乘年數」只適用於單利息，兩者的適用範圍不能混用。
- 第6段：常考陷阱計算損益最常見的陷阱是分母用錯：分母永遠是成本，不是賣價。例如成本 $80、賣價 $100，增益 = 20 ÷ 80 = 25%，不是 20 ÷ 100 = 20%。另一個陷阱是複利息與單利息混淆：年息 5% 存 3 年，單利息是 5% × 3 = 15%，複利息卻是 (1.05)³ − 1 = 15.76%，兩者並不相等，原因是複利息每年利疊利。為什麼考試愛考這兩個陷阱？因為它們最考驗對基準與複合的理解，概念清楚的人才不會中招。常見錯法：見到利率與年數就相乘；動筆之前先判斷是單利息還是複利息、基準是成本還是賣價，再選擇公式。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：小明用 $800 買入一部相機，後來以 $1000 賣出，增益百分數是多少？
- 第一步：求增益金額。增益 = 賣價 − 成本 = $1000 − $800 = $200。
- 第二步：確定基準。增益百分數以成本為基準，所以用增益除以成本：$200 ÷ $800。
- 第三步：計算百分比。$200 ÷ $800 = 0.25，化成百分數 0.25 × 100% = 25%。
- 第四步：驗算。成本 $800 增加 25% 即 $800 × 1.25 = $1000，與賣價相符，計算正確。
- 答案：答：增益百分數是 25%。先求增益金額 $1000 − $800 = $200，再除以基準（成本 $800），得 0.25，即 25%。注意分母必須用成本而不是賣價，若誤用 $1000 會得出 20%。驗算可用乘數法：$800 × (1 + 25%) = $800 × 1.25 = $1000，與賣價一致，說明答案正確。
6常見錯誤 Mistakes
✗ 損益百分比分母用賣價
✓ 分母永遠用成本
✗ 複利息用利率乘年數
✓ 複利息要用次方 (1+r)^n
✗ 計稅時乘錯了
✓ 連稅價 = 原價 × (1 + 稅率)
✗ 分不清簡單還是複利息
✓ 簡單利息每年按原本本金；複利息每年按新本金
75 題快測 Quick check
Q1原價 $300，稅率 5%，連稅價是多少？
答案 Answer：$315
你答對嗎？
Q2成本 $50，賣出 $60，增益%是多少？
答案 Answer：20%
你答對嗎？
Q3成本 $200，賣出 $150，虧蝕%是多少？
答案 Answer：25%
你答對嗎？
Q4存 $5000，年息 3%，簡單利息計 2 年，利息是多少？
答案 Answer：$300
你答對嗎？
Q5複利息計：$1000，年息 10%，兩年後本利和是多少？
答案 Answer：$1210
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 連稅價 = 原價 × (1 + 稅率)
- 增益% = (賣價 - 成本) ÷ 成本 × 100%
- 虧蝕% = (成本 - 賣價) ÷ 成本 × 100%
- 簡單利息 = 本金 × 利率 × 年數
- 複利息 = 本金 × (1 + 利率)^年數