第5课《百分数进阶应用》
进阶百分数最高阶的应用：计税、买卖损益、复利息。这些都是小学六年级常考的题型，学会之后百分数单元就完成。
学完呢课，你会识：
- 连税价 = 原价 × (1 + 税率)
- 增益% = (卖价 - 成本) ÷ 成本 × 100%
- 亏蚀% = (成本 - 卖价) ÷ 成本 × 100%
文体小知识：百分数进阶：税项、增益亏蚀、复利息
读呢课前，你应该识： 第4课《百分数的增长与折旧》
§课文原文 Passage
1税项：买东西的时候要付税。例如消费税 10%，一件衫 $200，连税价 = $200 × (1 + 10%) = $220。即是税项是 $20。
2增益与亏蚀：买入货之后卖出，赚了或者蚀了百分之几。成本 $100，卖出 $120，增益 = (120-100)/100 = 20%。成本 $100，卖出 $80，亏蚀 = (100-80)/100 = 20%。
3复利息：每年利息会加入本金，下一年计利息的时候就用新本金。例如存 $1000，年息 5%，两年后 = $1000 × (1.05)² = $1000 × 1.1025 = $1102.5。简单利息就是每年都用 $1000 计。
1重点摘要 Summary
百分数最高阶的应用：计税、买卖损益、复利息。这些都是小学六年级常考的题型，学会之后百分数单元就完成。
2生字卡 Vocabulary
t
tax名词
交给政府的钱
s
sales tax名词
买东西时要付的税
c
cost price名词
买入成本
s
selling price名词
卖出价钱
p
profit名词
赚到的钱
l
loss名词
蚀的钱
s
simple interest名词
每年按原本本金计的利息
c
compound interest名词
利息滚存，按新本金计
3逐步讲解 Steps
- 第1段：税项计算连税价 = 原价 × (1 + 税率)。例如原价 $500，税率 8%，连税价 = $500 × 1.08 = $540，其中税款是 $40。为什么乘 1.08 而不是 0.08？因为连税价由两部分组成：原价的 100% 加上税款的 8%，合共 108%，即乘数 1.08。如果已知连税价要还原原价，就用除法：原价 = $540 ÷ 1.08 = $500。再例如税率 10% 的货品原价 $200，连税价 = $200 × 1.1 = $220，税款 $20。常见错法：把税款当成连税价，答成 $40；看清题目问的是税款还是连税价，两者相差一个原价，答题之前先圈出问题的关键词。
- 第2段：增益百分数增益百分数的公式是：增益% = (卖价 − 成本) ÷ 成本 × 100%。例如成本 $200，卖出 $250，增益 = (250 − 200) ÷ 200 = 50 ÷ 200 = 0.25 = 25%，即赚了 25%。为什么分母是成本而不是卖价？因为盈亏以投入的本钱为基准，同样赚 $50，本钱 $200 与本钱 $500 的赚幅截然不同，前者 25%，后者只有 10%。例如另一批货成本 $400、卖出 $460，增益 = 60 ÷ 400 = 15%。常见错法：用卖价做分母，算成 50 ÷ 250 = 20%，与正确答案 25% 不同；求增益百分数时，除数永远是成本，写算式前先把成本圈出来。
- 第3段：亏蚀百分数亏蚀百分数的公式是：亏蚀% = (成本 − 卖价) ÷ 成本 × 100%。例如成本 $200，卖出 $160，亏蚀 = (200 − 160) ÷ 200 = 40 ÷ 200 = 0.2 = 20%，即蚀了 20%。为什么分母仍是成本？因为亏蚀衡量损失相对于本钱的比例，本钱是做生意时投入的基准，与增益百分数的基准一致，方便比较。例如另一件货成本 $500、卖出 $450，亏蚀 = 50 ÷ 500 = 10%。卖价高于成本是增益，卖价低于成本是亏蚀，两条公式互为镜像，分子都是「卖价与成本的差」。常见错法：把分子写反，用卖价减成本得出负数；先判断是赚还是蚀，再选用相应的公式。
- 第4段：简单利息简单利息的公式是：利息 = 本金 × 利率 × 年数。例如本金 $1000，年息 4%，存 3 年，利息 = $1000 × 4% × 3 = $120，本利和 = $1000 + $120 = $1120。为什么叫「简单」？因为每年都用原本的本金 $1000 计算利息，利息不滚存，每年都是 $40，三年三份，直接用乘法一次算出。对照银行存折上的「每年利息」一栏，单利息的金额年年相同，一眼就能核对。常见错法：忘记乘年数，只算一年的 $40；或者把利息与本利和混淆，把 $120 与 $1120 颠倒作答；先分清题目问「利息」还是「本利和」，再写答案。
- 第5段：复利息复利息的公式是：本利和 = 本金 × (1 + 利率) 的年数次方。例如本金 $1000，年息 4%，3 年后本利和 = $1000 × (1.04)³ = $1000 × 1.124864 = $1124.86。为什么与简单利息不同？因为复利息每年把利息加入本金，下一年按新本金计算：第一年利息 $40，本金变成 $1040；第二年利息 $41.60，本金再变大，利叠利，越滚越多，所以 3 年后比单利息的 $1120 多出 $4.86。常见错法：用 4% × 3 = 12% 计算复利息；复利息必须逐年计算或者用次方，「利率乘年数」只适用于单利息，两者的适用范围不能混用。
- 第6段：常考陷阱计算损益最常见的陷阱是分母用错：分母永远是成本，不是卖价。例如成本 $80、卖价 $100，增益 = 20 ÷ 80 = 25%，不是 20 ÷ 100 = 20%。另一个陷阱是复利息与单利息混淆：年息 5% 存 3 年，单利息是 5% × 3 = 15%，复利息却是 (1.05)³ − 1 = 15.76%，两者并不相等，原因是复利息每年利叠利。为什么考试爱考这两个陷阱？因为它们最考验对基准与复合的理解，概念清楚的人才不会中招。常见错法：见到利率与年数就相乘；动笔之前先判断是单利息还是复利息、基准是成本还是卖价，再选择公式。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
例题：小明用 $800 买入一部相机，后来以 $1000 卖出，增益百分数是多少？
- 第一步：求增益金额。增益 = 卖价 − 成本 = $1000 − $800 = $200。
- 第二步：确定基准。增益百分数以成本为基准，所以用增益除以成本：$200 ÷ $800。
- 第三步：计算百分比。$200 ÷ $800 = 0.25，化成百分数 0.25 × 100% = 25%。
- 第四步：验算。成本 $800 增加 25% 即 $800 × 1.25 = $1000，与卖价相符，计算正确。
- 答案：答：增益百分数是 25%。先求增益金额 $1000 − $800 = $200，再除以基准（成本 $800），得 0.25，即 25%。注意分母必须用成本而不是卖价，若误用 $1000 会得出 20%。验算可用乘数法：$800 × (1 + 25%) = $800 × 1.25 = $1000，与卖价一致，说明答案正确。
6常见错误 Mistakes
✗ 损益百分比分母用卖价
✓ 分母永远用成本
✗ 复利息用利率乘年数
✓ 复利息要用次方 (1+r)^n
✗ 计税时乘错了
✓ 连税价 = 原价 × (1 + 税率)
✗ 分不清简单还是复利息
✓ 简单利息每年按原本本金；复利息每年按新本金
75 题快测 Quick check
Q1原价 $300，税率 5%，连税价是多少？
答案 Answer：$315
你答对吗？
Q2成本 $50，卖出 $60，增益%是多少？
答案 Answer：20%
你答对吗？
Q3成本 $200，卖出 $150，亏蚀%是多少？
答案 Answer：25%
你答对吗？
Q4存 $5000，年息 3%，简单利息计 2 年，利息是多少？
答案 Answer：$300
你答对吗？
Q5复利息计：$1000，年息 10%，两年后本利和是多少？
答案 Answer：$1210
你答对吗？
8重点回顾 Recap
- 连税价 = 原价 × (1 + 税率)
- 增益% = (卖价 - 成本) ÷ 成本 × 100%
- 亏蚀% = (成本 - 卖价) ÷ 成本 × 100%
- 简单利息 = 本金 × 利率 × 年数
- 复利息 = 本金 × (1 + 利率)^年数