平均数

1重点摘要 Summary

平均数 = 总和 ÷ 数量：把不齐的数摊平之后每人拿多少。反推还要会：总和 = 平均 × 数量。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 1. 平均数是什么？平均数是最常用的统计量：把所有数据加起来，再除以数据的个数。例如数据 5、10、15：总和 = 5 + 10 + 15 = 30，个数 = 3，平均数 = 30 ÷ 3 = 10。直观理解是「把总数平均分配」：如果三个同学分别有 5 元、10 元和 15 元，大家把钱合起来再平分，每人可得 10 元。平均数反映整组数据的中心水平，考试平均分、球队平均身高都是同一原理。公式可写成：平均数 = 总和 ÷ 数据个数，两个条件缺一不可。
2. 2. 怎样计算平均数？计算平均数只需两步。以数据 5、10、15 为例：第一步求总和，5 + 10 + 15 = 30；第二步除以个数，30 ÷ 3 = 10，所以平均数是 10。再看一个含小数的例子：数据 4.5、6.5、7、10，总和 = 4.5 + 6.5 + 7 + 10 = 28，个数 = 4，平均数 = 28 ÷ 4 = 7。常见错误有两种：一是加数时漏掉其中一项，二是除错个数——数据有 4 个却除以 3。计算前先数清楚有多少个数据，加完后再逐项覆核一次总和，就能大幅减少失误。
3. 3. 班级分数实例以真实情境练习：某班 5 位同学的测验分数是 80、85、90、95、100。总和 = 80 + 85 + 90 + 95 + 100 = 450，个数 = 5，平均分 = 450 ÷ 5 = 90 分。这个 90 分代表全组的大概水平，可以用来比较不同班别或不同次测验的整体表现。注意平均分未必等于任何一位同学的实际分数：这里刚好有人取得 90 分，只是巧合；平均分也可以不在数据之中，但仍是合理的中心值。若下次测验平均分升至 92 分，便知道整体有进步，而不是只看个别高分同学的表现下结论。
4. 4. 平均数的意义平均数是「中心值」，不是「每个人的值」。以平均分 90 分为例，它的意义是全班的大致水平，但实际情况可能是：有人高于 90 分（如 95、100 分），也有人低于 90 分（如 80、85 分）。平均数把所有差异压缩成一个数字，方便比较，但同时隐去了个别差异：平均分相同的两班，一班可能人人介乎 88 至 92 分，另一班可能一半满分一半不及格。因此阅读统计报告时，平均数只提供整体印象；要了解全貌，还需配合最高值、最低值等资讯一起分析。
5. 5. 中位数中位数是把数据由小到大排列后，正中央那一个数。以数据 5、10、15 为例：排好序仍是 5、10、15，中间那个是 10，所以中位数 = 10。若数据有偶数个，例如 4、8、10、12，中间有两个数（8 和 10），中位数取两数的平均：(8 + 10) ÷ 2 = 9。求中位数最常见的错误是忘记先排序：对 3、15、5 直接取「中间」的 15 便错了，排序后 3、5、15 的中位数应是 5。中位数的好处是不受极端值影响，下一步会详细比较三种平均数的适用场合。
6. 6. 众数众数是数据中出现次数最多的数。以数据 5、10、10、15 为例：5 出现 1 次，10 出现 2 次，15 出现 1 次，出现最多的是 10，所以众数 = 10。众数特别适合「类别型」资料，例如全班最受欢迎的颜色、鞋店最常卖出的尺码——这些资料无法求平均数，却能找众数。要留意两种特殊情况：一是所有数出现次数相同，例如 2、4、6、8，此时没有众数；二是有两个数并列出现最多，例如 2、2、5、5、8，此时 2 和 5 都是众数，称为双众数，两个都要写。
7. 7. 哪个平均数好用？三种平均数各有用途，关键看数据有没有极端值。以数据 1、2、3、100 为例：平均数 = (1 + 2 + 3 + 100) ÷ 4 = 106 ÷ 4 = 26.5；中位数 = (2 + 3) ÷ 2 = 2.5。那个 100 把平均数拉高到 26.5，但四个数里有三个小于 4，26.5 根本不能代表一般水平；中位数 2.5 反而贴近真实情况。规律是：数据整齐时用平均数（用了全部资讯），有极端值时用中位数（不受拉扯），类别资料用众数。香港报道楼价、薪酬时常用中位数，正是这个原因。
8. 8. 常见错误与验算计算平均数时要避开三个常见错误。第一，求总和时漏加或重复加某一项，例如把 5、10、15 加成 25 或 35；对策是加完后再逐项覆核一次。第二，除错个数，例如 5 个数据除以 4；对策是先把所有数据圈出再点算。第三，见到「平均」就以为必用平均数，其实题目可能要求中位数或众数，必须看清题目问哪一种。验算技巧：平均数 × 个数应该还原等于总和，例如 10 × 3 = 30，与原来的总和一致，即表示计算无误。养成这个反向检查的习惯，考试时可以避免大量无谓失分。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 平均数：总和 ÷ 个数
• 平均数代表一般水平
• 中位数：排好序中间那个
• 众数：出现最多次
• 有极端值时，中位数更准