三角形的性质

1重点摘要 Summary

任何三角形三只内角加起来一定是 180°；等腰两底角相等、等边每只 60°、外角等于两只内对角之和。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 1. 三角形是什么？三角形是由三条边围成的多边形，有三条边、三个顶点和三个角，是边数最少的多边形。相邻两条边的交点就是顶点，每个顶点处形成一个内角。生活之中随处可以见到三角形：三角尺、屋顶支架、交通警告标志都是。因为三条边互相支撑、结构稳固，三角形常用来加固建筑框架；它也是学习几何的第一步，以后的多边形都可以切割成三角形来研究。
2. 2. 内角和三角形三个内角加起来永远等于 180°，这是三角形最重要的性质。以等边三角形为例：三个角完全相等，每个角就是 180° ÷ 3 = 60°；验算：60° + 60° + 60° = 180°，正确。无论三角形的形状怎样改变，是瘦长还是扁阔，只要仍是三角形，内角和都不会改变。这条规律是求角度的关键工具，下面各种三角形求角时都要配合它使用。
3. 3. 等边三角形等边三角形三条边全部一样长，例如每条边 5 cm。三条边相等时，三个角也必然相等，每个角都是 180° ÷ 3 = 60°，所以见到等边三角形，不必任何量度就能写出三个角全是 60°。反过来说，若一个三角形三个角都是 60°，它也必定是等边三角形。「边相等则角相等」这个对应关系，是分辨各类三角形的重要依据，画图时可以用角来检验边画得对不对。
4. 4. 等腰三角形等腰三角形有两条边一样长，这两条相等的边称为腰，例如两腰各 5 cm；第三条边称为底边，例如 6 cm。等腰三角形的关键性质是两个底角相等——相等的边所对的角必定一样大，即「等边对等角」。应用时常与内角和配合：知道顶角就能求出两个底角，知道底角也能求出顶角，具体的计算过程会在下面的例题部分详细示范。
5. 5. 直角三角形直角三角形有一个角刚好是 90°，直角所对的最长边称为斜边。由于内角和是 180°，另外两个锐角相加必定等于 180° − 90° = 90°。例如一个直角三角形的两个锐角分别是 30° 和 60°：30° + 60° = 90°，加上直角正好 180°。这个「两锐角相加等于 90°」的关系非常实用：只要知道其中一个锐角，用 90° 减去它就得到另一个，不必动用 180°。
6. 6. 不等边三角形不等边三角形三条边的长度各不相同，例如 3 cm、4 cm、5 cm；三条边互不相等时，三个角的大小也各不相同。判断方法：量度三条边，只要没有任何两条相等，它就是不等边三角形。顺带一提，3、4、5 这组边长藏著一个特别事实：3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，所以它其实是一个直角三角形，这条规律到高中数学会正式学习，现在先记住这个例子。
7. 7. 求未知角求未知角先写出内角和等式。例如三个角是 50°、60° 和未知角：50° + 60° + 未知角 = 180°；已知两角相加得 110°，再计算 180° − 110° = 70°，所以第三个角是 70°。验算：50° + 60° + 70° = 180°，正确。若是等腰三角形，再加上「两底角相等」条件：顶角 40° 时，每个底角 = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 三角形：三条边、三个角
• 内角和 = 180°
• 等边：三边一样，三角一样（每个 60°）
• 等腰：两边一样，两底角一样
• 直角：有一个 90°