平均數

1重點摘要 Summary

平均數 = 總和 ÷ 數量：把不齊的數攤平之後每人拿多少。反推還要會：總和 = 平均 × 數量。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 平均數是什麼？平均數是最常用的統計量：把所有數據加起來，再除以數據的個數。例如數據 5、10、15：總和 = 5 + 10 + 15 = 30，個數 = 3，平均數 = 30 ÷ 3 = 10。直觀理解是「把總數平均分配」：如果三個同學分別有 5 元、10 元和 15 元，大家把錢合起來再平分，每人可得 10 元。平均數反映整組數據的中心水平，考試平均分、球隊平均身高都是同一原理。公式可寫成：平均數 = 總和 ÷ 數據個數，兩個條件缺一不可。
2. 2. 怎樣計算平均數？計算平均數只需兩步。以數據 5、10、15 為例：第一步求總和，5 + 10 + 15 = 30；第二步除以個數，30 ÷ 3 = 10，所以平均數是 10。再看一個含小數的例子：數據 4.5、6.5、7、10，總和 = 4.5 + 6.5 + 7 + 10 = 28，個數 = 4，平均數 = 28 ÷ 4 = 7。常見錯誤有兩種：一是加數時漏掉其中一項，二是除錯個數——數據有 4 個卻除以 3。計算前先數清楚有多少個數據，加完後再逐項覆核一次總和，就能大幅減少失誤。
3. 3. 班級分數實例以真實情境練習：某班 5 位同學的測驗分數是 80、85、90、95、100。總和 = 80 + 85 + 90 + 95 + 100 = 450，個數 = 5，平均分 = 450 ÷ 5 = 90 分。這個 90 分代表全組的大概水平，可以用來比較不同班別或不同次測驗的整體表現。注意平均分未必等於任何一位同學的實際分數：這裡剛好有人取得 90 分，只是巧合；平均分也可以不在數據之中，但仍是合理的中心值。若下次測驗平均分升至 92 分，便知道整體有進步，而不是只看個別高分同學的表現下結論。
4. 4. 平均數的意義平均數是「中心值」，不是「每個人的值」。以平均分 90 分為例，它的意義是全班的大致水平，但實際情況可能是：有人高於 90 分（如 95、100 分），也有人低於 90 分（如 80、85 分）。平均數把所有差異壓縮成一個數字，方便比較，但同時隱去了個別差異：平均分相同的兩班，一班可能人人介乎 88 至 92 分，另一班可能一半滿分一半不及格。因此閱讀統計報告時，平均數只提供整體印象；要了解全貌，還需配合最高值、最低值等資訊一起分析。
5. 5. 中位數中位數是把數據由小到大排列後，正中央那一個數。以數據 5、10、15 為例：排好序仍是 5、10、15，中間那個是 10，所以中位數 = 10。若數據有偶數個，例如 4、8、10、12，中間有兩個數（8 和 10），中位數取兩數的平均：(8 + 10) ÷ 2 = 9。求中位數最常見的錯誤是忘記先排序：對 3、15、5 直接取「中間」的 15 便錯了，排序後 3、5、15 的中位數應是 5。中位數的好處是不受極端值影響，下一步會詳細比較三種平均數的適用場合。
6. 6. 眾數眾數是數據中出現次數最多的數。以數據 5、10、10、15 為例：5 出現 1 次，10 出現 2 次，15 出現 1 次，出現最多的是 10，所以眾數 = 10。眾數特別適合「類別型」資料，例如全班最受歡迎的顏色、鞋店最常賣出的尺碼——這些資料無法求平均數，卻能找眾數。要留意兩種特殊情況：一是所有數出現次數相同，例如 2、4、6、8，此時沒有眾數；二是有兩個數並列出現最多，例如 2、2、5、5、8，此時 2 和 5 都是眾數，稱為雙眾數，兩個都要寫。
7. 7. 哪個平均數好用？三種平均數各有用途，關鍵看數據有沒有極端值。以數據 1、2、3、100 為例：平均數 = (1 + 2 + 3 + 100) ÷ 4 = 106 ÷ 4 = 26.5；中位數 = (2 + 3) ÷ 2 = 2.5。那個 100 把平均數拉高到 26.5，但四個數裡有三個小於 4，26.5 根本不能代表一般水平；中位數 2.5 反而貼近真實情況。規律是：數據整齊時用平均數（用了全部資訊），有極端值時用中位數（不受拉扯），類別資料用眾數。香港報道樓價、薪酬時常用中位數，正是這個原因。
8. 8. 常見錯誤與驗算計算平均數時要避開三個常見錯誤。第一，求總和時漏加或重複加某一項，例如把 5、10、15 加成 25 或 35；對策是加完後再逐項覆核一次。第二，除錯個數，例如 5 個數據除以 4；對策是先把所有數據圈出再點算。第三，見到「平均」就以為必用平均數，其實題目可能要求中位數或眾數，必須看清題目問哪一種。驗算技巧：平均數 × 個數應該還原等於總和，例如 10 × 3 = 30，與原來的總和一致，即表示計算無誤。養成這個反向檢查的習慣，考試時可以避免大量無謂失分。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 平均數：總和 ÷ 個數
• 平均數代表一般水平
• 中位數：排好序中間那個
• 眾數：出現最多次
• 有極端值時，中位數更準