第26课《平均数、中位数、众数》

§课文原文 Passage

1重点摘要 Summary

三种代表数：平均数（加起来再除以人数）、中位数（排好序中间那个）、众数（出现最多那个）。学会计三种代表数。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第1段：平均数（Mean）平均数 = 总和 ÷ 数目。例如一班 5 个同学的考试分数是 60、70、80、90、100，总和 = 400，平均数 = 400 ÷ 5 = 80 分。为什么平均数最常用？因为它把全部数据都用上，用一个数概括整组的水平，例如用全班的平均分了解整体成绩。计算时先加总再除，个数必须数清。再例如一组 4 个数 10、20、30、36，总和 96，平均 = 96 ÷ 4 = 24。常见错法：总和正确却除错个数，或者数据中有 0 时忘记把 0 也计入个数；0 同样是一个数据，点算个数时必须把它算在内。
2. 第2段：中位数（Median）中位数是把数据由小到大排列后正中间的那个数。例如 3、5、7 排好后中间是 5，中位数 = 5；如果是偶数个数据，例如 2、4、6、8，中间有 4 和 6 两个，中位数 = (4 + 6) ÷ 2 = 5，即中间两数的平均。为什么必须先排序？因为「中间位置」只有在有序数据中才有意义，乱序时挑出来的数不是中位数。例如数据 9、1、5，排好是 1、5、9，中位数是 5 而不是 9。奇数个数据的中位数必定是原数，偶数个则可能是新算出来的数。常见错法：忘记排序就取中间，或者偶数个数据时忘记把中间两数相加除以 2。
3. 第3段：众数（Mode）众数是一组数据中出现次数最多的数。例如 1、2、2、3、2、5 中，2 出现 3 次，其余各出现 1 次，所以众数 = 2。为什么需要众数？因为有些问题最关心「最多人选什么」，例如鞋店想知道最畅销的尺码、选举想知道最多人支持的选项，众数直接给出答案。一组数据可能有多个众数，例如 1、1、2、2、3 中 1 与 2 都是众数；如果所有数出现次数相同，就没有众数。常见错法：把众数当成出现的次数，例如说众数是 3 次；众数是那个「数」本身，不是出现的「次数」，答题时要看清楚问的是哪一个。
4. 第4段：三个有什么分别？三个代表数各有特点：平均数用上全部数据，但受极端值影响大，例如组内有一个极大的数，平均数就被拉高；中位数只看中间位置，不受极端值影响；众数看出现次数，适合反映大众喜好。为什么要三个一起学？因为同一组数据用三个代表数可能得出不同结果，要按问题选择合适的一个。例如 2、3、3、4、100 中，平均数 22.4 被极端值 100 拉高，中位数 3 与众数 3 更能代表大多数。常见错法：任何题目一律用平均数；遇到含有极端值的数据，先观察分布，再决定用中位数还是众数更合理。
5. 第5段：应用：工资一间公司 5 人的月工资是 $10000、$12000、$15000、$18000、$100000，最后一个是老板。平均工资 = (10000 + 12000 + 15000 + 18000 + 100000) ÷ 5 = 155000 ÷ 5 = $31000，但中位数是 $15000。为什么两个结果差这么远？因为老板的 $100000 是极端值，把平均数拉高，$31000 比另外 4 人的工资都高，不能反映普通员工的水平；中位数 $15000 不受极端值影响，更能代表真实情况。常见错法：看到平均 $31000 就以为一般员工月入三万；读统计数字时要留意有没有极端值，判断平均数是否失真。
6. 第6段：应用：考试成绩一组考试分数 50、60、60、70、80：平均 = (50 + 60 + 60 + 70 + 80) ÷ 5 = 320 ÷ 5 = 64；排好序后正中间是 60，中位数 = 60；60 出现两次最多，众数 = 60。为什么这组的三个数这么接近？因为数据均匀、没有极端值，平均数、中位数、众数自然相差不远，这时用任何一个作代表都可以。对照工资的例子：有极端值时三个数分得很开，选错代表数就会得出误导的结论。常见错法：以为三个代表数永远一样；它们只是「平均」的三种不同意义，数据对称时接近，数据偏斜时相差很远，解读时要说明用的是哪一个。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 平均数 = 总和 ÷ 数目
• 中位数 = 排好序中间那个
• 众数 = 出现最多次那个
• 平均数受极端值影响
• 中位数不受极端值影响