第26課《平均數、中位數、眾數》

§課文原文 Passage

1重點摘要 Summary

三種代表數：平均數（加起來再除以人數）、中位數（排好序中間那個）、眾數（出現最多那個）。學會計三種代表數。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1段：平均數（Mean）平均數 = 總和 ÷ 數目。例如一班 5 個同學的考試分數是 60、70、80、90、100，總和 = 400，平均數 = 400 ÷ 5 = 80 分。為什麼平均數最常用？因為它把全部數據都用上，用一個數概括整組的水平，例如用全班的平均分了解整體成績。計算時先加總再除，個數必須數清。再例如一組 4 個數 10、20、30、36，總和 96，平均 = 96 ÷ 4 = 24。常見錯法：總和正確卻除錯個數，或者數據中有 0 時忘記把 0 也計入個數；0 同樣是一個數據，點算個數時必須把它算在內。
2. 第2段：中位數（Median）中位數是把數據由小到大排列後正中間的那個數。例如 3、5、7 排好後中間是 5，中位數 = 5；如果是偶數個數據，例如 2、4、6、8，中間有 4 和 6 兩個，中位數 = (4 + 6) ÷ 2 = 5，即中間兩數的平均。為什麼必須先排序？因為「中間位置」只有在有序數據中才有意義，亂序時挑出來的數不是中位數。例如數據 9、1、5，排好是 1、5、9，中位數是 5 而不是 9。奇數個數據的中位數必定是原數，偶數個則可能是新算出來的數。常見錯法：忘記排序就取中間，或者偶數個數據時忘記把中間兩數相加除以 2。
3. 第3段：眾數（Mode）眾數是一組數據中出現次數最多的數。例如 1、2、2、3、2、5 中，2 出現 3 次，其餘各出現 1 次，所以眾數 = 2。為什麼需要眾數？因為有些問題最關心「最多人選什麼」，例如鞋店想知道最暢銷的尺碼、選舉想知道最多人支持的選項，眾數直接給出答案。一組數據可能有多個眾數，例如 1、1、2、2、3 中 1 與 2 都是眾數；如果所有數出現次數相同，就沒有眾數。常見錯法：把眾數當成出現的次數，例如說眾數是 3 次；眾數是那個「數」本身，不是出現的「次數」，答題時要看清楚問的是哪一個。
4. 第4段：三個有什麼分別？三個代表數各有特點：平均數用上全部數據，但受極端值影響大，例如組內有一個極大的數，平均數就被拉高；中位數只看中間位置，不受極端值影響；眾數看出現次數，適合反映大眾喜好。為什麼要三個一起學？因為同一組數據用三個代表數可能得出不同結果，要按問題選擇合適的一個。例如 2、3、3、4、100 中，平均數 22.4 被極端值 100 拉高，中位數 3 與眾數 3 更能代表大多數。常見錯法：任何題目一律用平均數；遇到含有極端值的數據，先觀察分佈，再決定用中位數還是眾數更合理。
5. 第5段：應用：工資一間公司 5 人的月工資是 $10000、$12000、$15000、$18000、$100000，最後一個是老闆。平均工資 = (10000 + 12000 + 15000 + 18000 + 100000) ÷ 5 = 155000 ÷ 5 = $31000，但中位數是 $15000。為什麼兩個結果差這麼遠？因為老闆的 $100000 是極端值，把平均數拉高，$31000 比另外 4 人的工資都高，不能反映普通員工的水平；中位數 $15000 不受極端值影響，更能代表真實情況。常見錯法：看到平均 $31000 就以為一般員工月入三萬；讀統計數字時要留意有沒有極端值，判斷平均數是否失真。
6. 第6段：應用：考試成績一組考試分數 50、60、60、70、80：平均 = (50 + 60 + 60 + 70 + 80) ÷ 5 = 320 ÷ 5 = 64；排好序後正中間是 60，中位數 = 60；60 出現兩次最多，眾數 = 60。為什麼這組的三個數這麼接近？因為數據均勻、沒有極端值，平均數、中位數、眾數自然相差不遠，這時用任何一個作代表都可以。對照工資的例子：有極端值時三個數分得很開，選錯代表數就會得出誤導的結論。常見錯法：以為三個代表數永遠一樣；它們只是「平均」的三種不同意義，數據對稱時接近，數據偏斜時相差很遠，解讀時要說明用的是哪一個。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 平均數 = 總和 ÷ 數目
• 中位數 = 排好序中間那個
• 眾數 = 出現最多次那個
• 平均數受極端值影響
• 中位數不受極端值影響