正態分佈及其應用
基礎正態分佈是連續數據最常見的鐘形分佈：對稱於平均值，σ 控制曲線闊窄；把 X 標準化為 Z 等於 X 減 μ 再除以 σ 後查表求概率，配合對稱性與 68–95–99.7 經驗法則，就能解決質檢與各類應用題。
- 正態分佈 X ~ N(μ, σ²)：鐘形、對稱於 μ、平均值等於眾數等於中位數、σ 控制平坦度、總面積為一。
- 標準化 Z = (X−μ)/σ 把任何正態問題化為標準正態 Z ~ N(0, 1) 查表處理。
- 查表得 P(Z ≤ z)；「大於」用一減、「介乎」相減，最後把語境還原成 X 的概率。
文體小知識：數學概念說明文——由連續隨機變量引入正態分佈的性質與記法，講解標準化與標準正態分佈表的用法，配合對稱性與經驗法則解決概率應用題。
§課文原文 Passage
1必修部分的隨機變量大多是離散的，概率集中在個別數值上；但身高、壽命、容量這類量可以取某區間內的任何值，稱為連續隨機變量，其概率分佈叫連續概率分佈。連續分佈中，概率只能談「落在某區間」，以曲線下面積表示：說某人身高恰好等於一百七十厘米，概率其實是零，有意義的是身高介乎某兩個值之間的概率。
2正態分佈是最重要的連續概率分佈，記作 X ~ N(μ, σ²)。它的曲線呈鐘形並對稱於平均值；平均值、眾數與中位數三者相等，都在對稱軸上；曲線的平坦度取決於 σ 值，σ 越大曲線越闊越矮；曲線下的總面積為一，代表全部概率。兩個參數各司其職：μ 決定位置，改變 μ 曲線整條平移；σ 決定離散程度。
3每對 μ 與 σ 都對應一條曲線，逐條造表並不現實，於是統一換算：標準化公式是 Z 等於 X 減 μ 再除以 σ，表示 x 偏離平均值多少個標準差。換算後 Z 服從平均值為零、方差為一的標準正態分佈，全世界的正態計算都歸結到這一條曲線，配合標準正態分佈表使用。
4求概率的流程固定三步：標準化、查表、還原語境。標準正態分佈表列出 Z 小於或等於某值的概率；求介乎兩值之間的概率，就把兩個表值相減；求大於某值的概率，就用一減表值。對稱性是第二把鑰匙：曲線對稱於零，零左與零右各佔一半，負 z 的左尾概率等於一減正 z 的左尾概率。
5應用上還有一條記憶規則：數據落在平均值左右一個標準差的概率約為百分之六十八，兩個標準差約為百分之九十五，三個標準差約為百分之九十九點七。生產線的質檢、保養期的設定、離群數據的判斷，都靠這條 68–95–99.7 規則快速估算；正態分佈的應用題，正是 M1 卷的常見大題。
1重點摘要 Summary
正態分佈是連續數據最常見的鐘形分佈：對稱於平均值，σ 控制曲線闊窄；把 X 標準化為 Z 等於 X 減 μ 再除以 σ 後查表求概率，配合對稱性與 68–95–99.7 經驗法則，就能解決質檢與各類應用題。
2生字卡 Vocabulary
可取某區間內任意值的隨機變量，如身高、壽命；概率以曲線下面積表示。
鐘形、對稱於平均值的連續概率分佈，記作 X ~ N(μ, σ²)。
正態分佈的概率曲線：鐘形、對稱、下方總面積為一。
正態分佈的位置參數；平均值、眾數與中位數三者相等，均位於對稱軸上。
控制曲線平坦度的離散參數；σ 越大，曲線越闊越矮，數據越分散。
把 X 換算成 Z = (X−μ)/σ 的過程，表示偏離平均值多少個標準差。
平均值為零、方差為一的正態分佈 Z ~ N(0, 1)，配專用分佈表使用。
列出 P(Z ≤ z) 數值的表；配合對稱性可求各類區間概率。
標準正態曲線對稱於零：P(Z < 0) = 0.5，且 P(Z < −a) = P(Z > a)。
數據落在 μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ 的概率約為 68%、95%、99.7%。
3逐步講解 Steps
- 第一步：由離散到連續必修部分處理的隨機變量多是離散的，概率集中在個別數值；但身高、壽命、容量這類量可以取區間內任何值，是連續隨機變量，概率只能談落在某區間，以曲線下面積表示。舉個例子：說「身高恰好 170 厘米」在連續模型中概率是零，有意義的是「身高介乎 169.5 與 170.5 厘米之間」的概率，即曲線下該區間的面積；這個面積思維是本課一切計算的基礎。
- 第二步：正態分佈與其性質正態分佈是最重要的連續分佈，曲線呈鐘形並對稱於平均值；平均值、眾數與中位數三者相等；曲線的平坦度取決於 σ 值；曲線下的總面積為一。舉個例子：同樣平均值 170 厘米，σ 等於五時曲線高而窄，σ 等於十時曲線矮而闊，但兩條曲線下面積都是一，代表總概率為一。記法 X ~ N(μ, σ²)，緊記第二個參數是方差，不是標準差，這是考試常設的陷阱。
- 第三步：兩個參數的角色μ 定位置：改變 μ，鐘形曲線整條左右平移；σ 定離散：σ 越大，數據越分散，曲線越闊越矮。舉個例子：兩條生產線的螺絲長度平均值都是 50 毫米，但 σ 分別是 0.2 與 1 毫米，前者產品長度集中、曲線高窄，後者長短參差、曲線矮闊。比較兩組數據時，平均值回答「典型是多少」，標準差回答「參差程度如何」，兩者缺一不可。
- 第四步：標準化與標準正態分佈每對 μ、σ 都對應一條曲線，逐條造表不現實，於是統一換算：Z = (X−μ)/σ，表示 x 偏離平均值多少個標準差。換算後 Z ~ N(0, 1)，是唯一的標準正態分佈。舉個例子：X ~ N(50, 8²)，x = 66 時 Z = (66−50)÷8 = 2，即 66 比平均值高兩個標準差；x = 34 時 Z = −2，低兩個標準差。標準化是所有正態計算的第一步，公式必須一字不差地記住。
- 第五步：查表求概率標準正態分佈表列出 P(Z ≤ z)。求 P(X < x) 三步：標準化得 z、查表得概率、還原語境。舉個例子：X ~ N(50, 8²)，求 P(X < 66)：z = 2，查表 P(Z ≤ 2) 約為 0.9772。求介乎兩值之間就把兩個概率相減：P(42 < X < 66) = P(Z < 2) − P(Z < −1) 約為 0.9772 − 0.1587 = 0.8185，其中 P(Z < −1) = 1 − P(Z < 1) 用了對稱性。查表、相減、還原，是計算題的標準格式。
- 第六步：對稱性與反求 x標準正態曲線對稱於零：P(Z < 0) = 0.5，且 P(Z < −a) = P(Z > a) = 1 − P(Z < a)。反求 x 時，題目給概率，先由表反查 z，再由 Z = (X−μ)/σ 解出 X = μ + zσ。舉個例子：X ~ N(170, 7²)，求 h 使 P(X > h) = 0.95：h 在左邊，P(Z < z) = 0.05 反查得 z 約為 −1.645，故 h = 170 + (−1.645)(7) 約為 158.5 厘米。反求題的分數位在「由概率反查 z」這一步。
- 第七步：68–95–99.7 經驗法則正態分佈有漂亮的記憶規則：數據落在 μ±1σ 的概率約 68%，μ±2σ 約 95%，μ±3σ 約 99.7%。舉個例子：壽命 X ~ N(2000, 100²) 的燈泡，約 68% 壽命在 1900 至 2100 小時，約 95% 在 1800 至 2200 小時，於是壽命超過 2200 小時的只有約 2.5%。質檢設定容許範圍、保養期估算、離群值判斷，都靠這條規則心算；先把區間端點換算成距平均值多少個標準差，再套規則，最後按對稱性平分兩側。
5例題示範 Example
例題：某型號燈泡的壽命 X（以小時計）服從正態分佈 X ~ N(2000, 100²)。利用 68–95–99.7 經驗法則，求 (a) P(1900 < X < 2100)；(b) P(X > 2200)；(c) P(2100 < X < 2200)。
- 定位區間：μ = 2000、σ = 100；1900 與 2100 分別是 μ−σ 與 μ+σ，1800 與 2200 分別是 μ−2σ 與 μ+2σ
- (a) μ±1σ 內的概率約為 0.68，故 P(1900 < X < 2100) ≈ 0.68
- (b) μ±2σ 內約為 0.95，兩側對稱各佔 0.025，故 P(X > 2200) ≈ (1 − 0.95)÷2 = 0.025
- (c) P(2100 < X < 2200) = P(μ+σ < X < μ+2σ) = (0.95 − 0.68)÷2 = 0.135
- 答案：(a) 約 0.68；(b) 約 0.025；(c) 約 0.135。關鍵是把區間端點換算成距平均值多少個標準差，再用經驗法則與對稱性把兩側尾概率平分；答題時寫明每個端點對應的 z 倍數。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1正態分佈中，平均值、眾數與中位數有甚麼關係？
Q2設 X ~ N(60, 5²)，求 x = 47.5 對應的 Z 值。
Q3標準正態分佈中 P(Z < 0) 等於多少？為甚麼？
Q4已知 P(Z < 1.5) = 0.9332，求 P(−1.5 < Z < 1.5)。
Q5設 X ~ N(2000, 100²)，用 68–95–99.7 規則求 P(X < 1800)。
8重點回顧 Recap
- 正態分佈 X ~ N(μ, σ²)：鐘形、對稱於 μ、平均值等於眾數等於中位數、σ 控制平坦度、總面積為一。
- 標準化 Z = (X−μ)/σ 把任何正態問題化為標準正態 Z ~ N(0, 1) 查表處理。
- 查表得 P(Z ≤ z)；「大於」用一減、「介乎」相減，最後把語境還原成 X 的概率。
- 反求 x：由概率反查 z，再用 X = μ + zσ 還原；留意 z 的正負號。
- 68–95–99.7 規則快速估算 μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ 的比例，兩側尾概率對稱各佔一半。