正态分布及其应用
基础正态分布是连续数据最常见的钟形分布：对称于平均值，σ 控制曲线阔窄；把 X 标准化为 Z 等于 X 减 μ 再除以 σ 后查表求概率，配合对称性与 68–95–99.7 经验法则，就能解决质检与各类应用题。
- 正态分布 X ~ N(μ, σ²)：钟形、对称于 μ、平均值等于众数等于中位数、σ 控制平坦度、总面积为一。
- 标准化 Z = (X−μ)/σ 把任何正态问题化为标准正态 Z ~ N(0, 1) 查表处理。
- 查表得 P(Z ≤ z)；「大于」用一减、「介乎」相减，最后把语境还原成 X 的概率。
文体小知识：数学概念说明文——由连续随机变量引入正态分布的性质与记法，讲解标准化与标准正态分布表的用法，配合对称性与经验法则解决概率应用题。
§课文原文 Passage
1必修部分的随机变量大多是离散的，概率集中在个别数值上；但身高、寿命、容量这类量可以取某区间内的任何值，称为连续随机变量，其概率分布叫连续概率分布。连续分布中，概率只能谈「落在某区间」，以曲线下面积表示：说某人身高恰好等于一百七十厘米，概率其实是零，有意义的是身高介乎某两个值之间的概率。
2正态分布是最重要的连续概率分布，记作 X ~ N(μ, σ²)。它的曲线呈钟形并对称于平均值；平均值、众数与中位数三者相等，都在对称轴上；曲线的平坦度取决于 σ 值，σ 越大曲线越阔越矮；曲线下的总面积为一，代表全部概率。两个参数各司其职：μ 决定位置，改变 μ 曲线整条平移；σ 决定离散程度。
3每对 μ 与 σ 都对应一条曲线，逐条造表并不现实，于是统一换算：标准化公式是 Z 等于 X 减 μ 再除以 σ，表示 x 偏离平均值多少个标准差。换算后 Z 服从平均值为零、方差为一的标准正态分布，全世界的正态计算都归结到这一条曲线，配合标准正态分布表使用。
4求概率的流程固定三步：标准化、查表、还原语境。标准正态分布表列出 Z 小于或等于某值的概率；求介乎两值之间的概率，就把两个表值相减；求大于某值的概率，就用一减表值。对称性是第二把钥匙：曲线对称于零，零左与零右各占一半，负 z 的左尾概率等于一减正 z 的左尾概率。
5应用上还有一条记忆规则：数据落在平均值左右一个标准差的概率约为百分之六十八，两个标准差约为百分之九十五，三个标准差约为百分之九十九点七。生产线的质检、保养期的设定、离群数据的判断，都靠这条 68–95–99.7 规则快速估算；正态分布的应用题，正是 M1 卷的常见大题。
1重点摘要 Summary
正态分布是连续数据最常见的钟形分布：对称于平均值，σ 控制曲线阔窄；把 X 标准化为 Z 等于 X 减 μ 再除以 σ 后查表求概率，配合对称性与 68–95–99.7 经验法则，就能解决质检与各类应用题。
2生字卡 Vocabulary
可取某区间内任意值的随机变量，如身高、寿命；概率以曲线下面积表示。
钟形、对称于平均值的连续概率分布，记作 X ~ N(μ, σ²)。
正态分布的概率曲线：钟形、对称、下方总面积为一。
正态分布的位置参数；平均值、众数与中位数三者相等，均位于对称轴上。
控制曲线平坦度的离散参数；σ 越大，曲线越阔越矮，数据越分散。
把 X 换算成 Z = (X−μ)/σ 的过程，表示偏离平均值多少个标准差。
平均值为零、方差为一的正态分布 Z ~ N(0, 1)，配专用分布表使用。
列出 P(Z ≤ z) 数值的表；配合对称性可求各类区间概率。
标准正态曲线对称于零：P(Z < 0) = 0.5，且 P(Z < −a) = P(Z > a)。
数据落在 μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ 的概率约为 68%、95%、99.7%。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：由离散到连续必修部分处理的随机变量多是离散的，概率集中在个别数值；但身高、寿命、容量这类量可以取区间内任何值，是连续随机变量，概率只能谈落在某区间，以曲线下面积表示。举个例子：说「身高恰好 170 厘米」在连续模型中概率是零，有意义的是「身高介乎 169.5 与 170.5 厘米之间」的概率，即曲线下该区间的面积；这个面积思维是本课一切计算的基础。
- 第二步：正态分布与其性质正态分布是最重要的连续分布，曲线呈钟形并对称于平均值；平均值、众数与中位数三者相等；曲线的平坦度取决于 σ 值；曲线下的总面积为一。举个例子：同样平均值 170 厘米，σ 等于五时曲线高而窄，σ 等于十时曲线矮而阔，但两条曲线下面积都是一，代表总概率为一。记法 X ~ N(μ, σ²)，紧记第二个参数是方差，不是标准差，这是考试常设的陷阱。
- 第三步：两个参数的角色μ 定位置：改变 μ，钟形曲线整条左右平移；σ 定离散：σ 越大，数据越分散，曲线越阔越矮。举个例子：两条生产线的螺丝长度平均值都是 50 毫米，但 σ 分别是 0.2 与 1 毫米，前者产品长度集中、曲线高窄，后者长短参差、曲线矮阔。比较两组数据时，平均值回答「典型是多少」，标准差回答「参差程度如何」，两者缺一不可。
- 第四步：标准化与标准正态分布每对 μ、σ 都对应一条曲线，逐条造表不现实，于是统一换算：Z = (X−μ)/σ，表示 x 偏离平均值多少个标准差。换算后 Z ~ N(0, 1)，是唯一的标准正态分布。举个例子：X ~ N(50, 8²)，x = 66 时 Z = (66−50)÷8 = 2，即 66 比平均值高两个标准差；x = 34 时 Z = −2，低两个标准差。标准化是所有正态计算的第一步，公式必须一字不差地记住。
- 第五步：查表求概率标准正态分布表列出 P(Z ≤ z)。求 P(X < x) 三步：标准化得 z、查表得概率、还原语境。举个例子：X ~ N(50, 8²)，求 P(X < 66)：z = 2，查表 P(Z ≤ 2) 约为 0.9772。求介乎两值之间就把两个概率相减：P(42 < X < 66) = P(Z < 2) − P(Z < −1) 约为 0.9772 − 0.1587 = 0.8185，其中 P(Z < −1) = 1 − P(Z < 1) 用了对称性。查表、相减、还原，是计算题的标准格式。
- 第六步：对称性与反求 x标准正态曲线对称于零：P(Z < 0) = 0.5，且 P(Z < −a) = P(Z > a) = 1 − P(Z < a)。反求 x 时，题目给概率，先由表反查 z，再由 Z = (X−μ)/σ 解出 X = μ + zσ。举个例子：X ~ N(170, 7²)，求 h 使 P(X > h) = 0.95：h 在左边，P(Z < z) = 0.05 反查得 z 约为 −1.645，故 h = 170 + (−1.645)(7) 约为 158.5 厘米。反求题的分数位在「由概率反查 z」这一步。
- 第七步：68–95–99.7 经验法则正态分布有漂亮的记忆规则：数据落在 μ±1σ 的概率约 68%，μ±2σ 约 95%，μ±3σ 约 99.7%。举个例子：寿命 X ~ N(2000, 100²) 的灯泡，约 68% 寿命在 1900 至 2100 小时，约 95% 在 1800 至 2200 小时，于是寿命超过 2200 小时的只有约 2.5%。质检设定容许范围、保养期估算、离群值判断，都靠这条规则心算；先把区间端点换算成距平均值多少个标准差，再套规则，最后按对称性平分两侧。
5例题示范 Example
例题：某型号灯泡的寿命 X（以小时计）服从正态分布 X ~ N(2000, 100²)。利用 68–95–99.7 经验法则，求 (a) P(1900 < X < 2100)；(b) P(X > 2200)；(c) P(2100 < X < 2200)。
- 定位区间：μ = 2000、σ = 100；1900 与 2100 分别是 μ−σ 与 μ+σ，1800 与 2200 分别是 μ−2σ 与 μ+2σ
- (a) μ±1σ 内的概率约为 0.68，故 P(1900 < X < 2100) ≈ 0.68
- (b) μ±2σ 内约为 0.95，两侧对称各占 0.025，故 P(X > 2200) ≈ (1 − 0.95)÷2 = 0.025
- (c) P(2100 < X < 2200) = P(μ+σ < X < μ+2σ) = (0.95 − 0.68)÷2 = 0.135
- 答案：(a) 约 0.68；(b) 约 0.025；(c) 约 0.135。关键是把区间端点换算成距平均值多少个标准差，再用经验法则与对称性把两侧尾概率平分；答题时写明每个端点对应的 z 倍数。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1正态分布中，平均值、众数与中位数有甚么关系？
Q2设 X ~ N(60, 5²)，求 x = 47.5 对应的 Z 值。
Q3标准正态分布中 P(Z < 0) 等于多少？为甚么？
Q4已知 P(Z < 1.5) = 0.9332，求 P(−1.5 < Z < 1.5)。
Q5设 X ~ N(2000, 100²)，用 68–95–99.7 规则求 P(X < 1800)。
8重点回顾 Recap
- 正态分布 X ~ N(μ, σ²)：钟形、对称于 μ、平均值等于众数等于中位数、σ 控制平坦度、总面积为一。
- 标准化 Z = (X−μ)/σ 把任何正态问题化为标准正态 Z ~ N(0, 1) 查表处理。
- 查表得 P(Z ≤ z)；「大于」用一减、「介乎」相减，最后把语境还原成 X 的概率。
- 反求 x：由概率反查 z，再用 X = μ + zσ 还原；留意 z 的正负号。
- 68–95–99.7 规则快速估算 μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ 的比例，两侧尾概率对称各占一半。