不定積分
基礎不定積分是求導的逆過程：由導數還原原函數，答案須加上積分常數 C；掌握冪、倒數、指數與三角的積分公式，配合線性性質與代換積分法，就能由變率重建曲線，為定積分鋪路。
- 不定積分是求導的逆過程：∫f(x)dx 代表所有滿足 F'(x) = f(x) 的原函數。
- 積分常數 C 對應曲線族；有條件就用條件定 C，無條件就保留 C，落筆即寫加 C。
- 冪公式指數加一再除以新指數；倒數歸 ln x；eˣ、sin、cos、sec² 各有對應公式。
文體小知識：數學概念說明文——由求導的逆過程引入不定積分與積分常數 C，整理冪、倒數、指數與三角的積分公式、線性性質與代換積分法，並應用於由變率還原曲線。
§課文原文 Passage
1上一課由函數求導數，這一課走回頭路：已知導數，求原來的函數。這個過程叫不定積分法，課程明確指出它是求導法的逆過程。記法寫作不定積分號 f(x) 乘 dx，其中 f(x) 稱為被積函數，dx 標明積分變量是 x。積分與求導互為逆運算，正如加法與減法、乘方與開方。
2為甚麼叫「不定」？因為任何函數加上常數後，導數不變：x 的平方、x 的平方加一、x 的平方減七，求導全是二 x。所以由導數還原時，答案不是一條曲線，而是一族上下平移的曲線，要加上一個任意常數 C，稱為積分常數。DSE 每年都會懲罰漏寫 C 的考生，養成落筆即寫加 C 的習慣。
3基本公式與求導公式一一對應。冪公式是積分的核心：x 的 n 次方積分，指數加一，再除以新指數，即 x 的 n 加一次方除以 n 加一，然後加 C；唯一的例外是倒數，x 分之一的積分是自然對數 ln x 加 C。舉個例子：x 的四次方積分得 x 的五次方除以五；根號 x 要先化成 x 的二分之一次方再積。
4指數與三角同樣有對應公式：e 的 x 次方積分仍是自身；正弦的積分是負餘弦，餘弦的積分是正弦，正割平方的積分是正切，全部加 C。檢查積分答案的標準動作是把結果求導，看能否還原成被積函數；這個動作既可驗算，也令人明白積分與求導如何互相鎖定。
5線性性質令多項積分變得輕鬆：常數可以抽出積分號，和與差可以拆開逐項積分，全式只須一個 C。被積函數是複合形式時，用代換積分法：設內層為 u，把 dx 換成 du，化簡後積分再回代。課程包括代換法而不包括分部積分法；應用上，由切線斜率與一點坐標還原曲線，是不定積分最典型的用途。
1重點摘要 Summary
不定積分是求導的逆過程：由導數還原原函數，答案須加上積分常數 C；掌握冪、倒數、指數與三角的積分公式，配合線性性質與代換積分法，就能由變率重建曲線，為定積分鋪路。
2生字卡 Vocabulary
f(x) 的全部原函數，記作 ∫f(x)dx，結果含積分常數 C。
求導後等於 f(x) 的函數 F(x)，即 F'(x) = f(x)。
任意常數 C，代表一族沿 y 軸平移的原函數曲線。
∫f(x)dx 中被積分的函數 f(x)。
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）；指數加一，再除以新指數。
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx；∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
設被積函數的內層為 u，把 dx 換成 du，化簡後積分再回代；課程不包括分部積分法。
課程對不定積分法的定性：它是求導法的逆過程，兩者互為還原。
題目給定的函數值（如曲線過某點），用來確定積分常數 C。
以 e 為底的對數，記作 ln x；∫(1/x)dx = ln x + C。
3逐步講解 Steps
- 第一步：積分是求導的逆過程已知導數求原函數，就是不斷反問：哪個函數求導後等於它？舉個例子：導數是 2x 的函數有 x²，因為 (x²)' = 2x；但 (x²+1)' 與 (x²+5)' 同樣是 2x，所以答案不止一個，記作 ∫2x dx = x² + C。記法 ∫f(x)dx 讀作 f(x) 對 x 的積分，∫ 是拉長的 S，源自「求和」的概念，dx 標明積分變量；課程要求認識這套記法並理解積分與求導的互逆關係。
- 第二步：積分常數 C 的意義任何函數加上常數後導數不變，所以不定積分的答案是一族曲線，形狀相同、沿 y 軸上下平移。舉個例子：∫x² dx = x³/3 + C，C 取零、一、負一，就得到三條上下平移的拋物線。DSE 每年都懲罰漏寫 C 的考生：只要答案是不定積分，加 C 一步都不能省；若題目附帶條件，例如曲線過某點或某時刻的量，C 就能被唯一確定，這正是應用題的考法。
- 第三步：冪函數與倒數的積分核心公式：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C，其中 n ≠ −1，口訣是指數加一，再除以新指數。倒數是例外：∫(1/x)dx = ln x + C。舉個例子：∫x⁴ dx = x⁵/5 + C；∫√x dx = ∫x^½ dx = x^(32)÷(32) + C = (23)x^(32) + C；∫x^(−2) dx = x^(−1)÷(−1) + C = −1/x + C。根式與分式先化成冪形式，是套用公式前的固定動作，n = −1 的例外要單獨記憶。
- 第四步：三角與指數的積分與求導公式一一對應：∫eˣ dx = eˣ + C；∫sin x dx = −cos x + C；∫cos x dx = sin x + C；∫sec²x dx = tan x + C。留意正弦的積分帶負號，因為 (−cos x)' = sin x。舉個例子：積 cos x 得 sin x 加 C，驗證方法是把 sin x 求導，還原得 cos x；把結果求導檢查能否還原被積函數，是積分題的標準自我檢查，考試前三十秒就能救命。
- 第五步：線性性質常數可以抽出積分號，和差可以拆開：∫kf(x)dx = k∫f(x)dx，∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。舉個例子：∫(6x² − 4x + 5) dx = 6×(x³/3) − 4×(x²/2) + 5x + C = 2x³ − 2x² + 5x + C，整條式最後只寫一個 C。多項式積分就是逐項套冪公式再合併常數；係數先乘後除的次序要留神，例如六乘 x 的三次方除以三，得二 x 的三次方。
- 第六步：代換積分法被積函數是複合形式時，設內層為 u，把 du 與 dx 互相替換，化簡後積分，最後回代。舉個例子：∫(2x+1)⁵ dx，設 u = 2x+1，du = 2dx，即 dx = du/2，積分變成 ∫u⁵(du/2) = u⁶/12 + C = (2x+1)⁶/12 + C。步驟固定：設 u、求 du、換元、積分、回代。課程包括代換法，不包括分部積分法；見到括號或根號內有函數，先想代換能否把它變成簡單的冪。
- 第七步：應用：由變率重建函數應用題常給出切線斜率（即導數）與一點坐標，要求還原曲線：先積分得含 C 的函數族，再代入條件確定 C。舉個例子：曲線斜率為 6x²，且過點 (1, 5)：積分得 y = 2x³ + C；代入 x = 1、y = 5 得 2 + C = 5，即 C = 3，曲線是 y = 2x³ + 3。這類題目把求導、積分、定 C 三個環節串成一條鏈，答題時積分寫 C、代入條件、解出 C、報出唯一曲線，一個都不能少。
5例題示範 Example
例題：已知曲線在每一點的切線斜率為 6x² − 4x + 1，且曲線通過點 (1, 4)，求曲線的方程。
- 設曲線為 y = f(x)，則 f'(x) = 6x² − 4x + 1
- 積分：y = ∫(6x² − 4x + 1) dx = 2x³ − 2x² + x + C
- 代入 (1, 4)：2(1)³ − 2(1)² + 1 + C = 4，即 1 + C = 4，得 C = 3
- 驗證：y' = 6x² − 4x + 1，與題目給出的斜率吻合
- 答案：曲線方程為 y = 2x³ − 2x² + x + 3。答題步驟：寫出 f'(x)、積分並保留 C、代入已知點解 C、最後以求導驗證；漏寫 C 或不用條件定 C 都會被扣分。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1為甚麼不定積分的答案必須寫 +C？
Q2求 ∫(4x³ − 6x) dx。
Q3求 ∫(eˣ + 1/x) dx（x > 0）。
Q4求 ∫(3x+2)⁴ dx。
Q5求 ∫(sin x + sec²x) dx。
8重點回顧 Recap
- 不定積分是求導的逆過程：∫f(x)dx 代表所有滿足 F'(x) = f(x) 的原函數。
- 積分常數 C 對應曲線族；有條件就用條件定 C，無條件就保留 C，落筆即寫加 C。
- 冪公式指數加一再除以新指數；倒數歸 ln x；eˣ、sin、cos、sec² 各有對應公式。
- 線性性質逐項處理、全式一個 C；代換法五步：設 u、求 du、換元、積分、回代。
- 檢查積分的標準動作是把答案求導，看能否還原被積函數。