求導法及其應用
進階導數是瞬時變化率，數值等於切線斜率；牢記冪、三角、指數與對數的求導公式，配合加法、積、商與鏈式法則，再以二階導數判別極值與凹性，就能處理切線方程、描繪曲線與變率應用題。
- 導數是瞬時變化率：f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h，幾何上是切線斜率。
- 公式表加四法則（加法、積、商、鏈式）是求導的全部工具；根式與分式先化冪再求導。
- 積法則與商法則有固定結構，先寫 u、v 再代入；鏈式法則切記乘內層導數。
文體小知識：數學概念說明文——由基本原理的極限定義出發，整理求導公式與加法、積、商、鏈式四條法則，再以二階導數判別極值與凹性，覆蓋切線、極值與變率應用，是 M2 的核心課。
§課文原文 Passage
1上一課的瞬時變化率有個正式名字：導數。把割線斜率中的水平距離讓它趨近零，所得極限就是函數在一點的導數，幾何上是曲線在該點切線的斜率。記法有三種：y 一撇、f 一撇，以及 dy 除以 dx，三者在課程中並行使用，答題時任選其一，但要全卷一致。
2求導公式表必須滾瓜爛熟：常數的導數是零；x 的 n 次方求導得 n 乘 x 的 n 減一次方，這是冪公式；正弦求導得餘弦、餘弦求導得負正弦；e 的 x 次方求導仍是自身；自然對數求導得 x 分之一。根式與分式要先化成冪形式再套用公式，例如根號 x 即 x 的二分之一次方。
3公式之外還有四條法則。加法法則最簡單：和的導數等於導數的和，係數可抽出。積法則說明兩函數乘積的導數不是導數相乘，而是第一個函數的導數乘第二個，加上第一個乘第二個的導數。商法則的分子是分母乘分子的導數減去分子乘分母的導數，再除以分母的平方，次序不能顛倒。
4複合函數則用鏈式法則：外層函數對內層求導，再乘內層的導數。舉個例子：三 x 加一的五次方求導，等於五倍的三 x 加一的四次方，再乘三，即十五倍的三 x 加一的四次方；漏乘內層導數是最常見的錯誤。對不能解出 y 的方程，課程還要求隱函數求導法與對數求導法。
5導數的應用有三大主線：切線方程用點斜式；極大極小先解導數為零的駐點，再用二階導數判別法確認性質，並注意全局與局部極值之分；描繪曲線時要看截距、極值點、拐點與漸近線。變率應用題把速率、成本變化等情境翻譯成導數，是 DSE 長題目的常客。
1重點摘要 Summary
導數是瞬時變化率，數值等於切線斜率；牢記冪、三角、指數與對數的求導公式，配合加法、積、商與鏈式法則，再以二階導數判別極值與凹性，就能處理切線方程、描繪曲線與變率應用題。
2生字卡 Vocabulary
函數的瞬時變化率，記作 f'(x) 或 dy/dx，數值等於曲線在該點切線的斜率。
由函數求導數的過程；課程中單元二的名稱為「求導法」。
用極限 f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 求導數的定義方法。
d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)；乘積的導數不等於導數的乘積。
d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²，分子次序不可顛倒。
dy/dx = (dy/du)(du/dx)；複合函數求導時外層導數乘內層導數。
對含 x 與 y 的方程兩邊同時求導，遇 y 項乘 dy/dx，再解出 dy/dx。
導數的導數，記作 f''(x) 或 d²y/dx²，用於判別極值性質與凹性。
函數在鄰域內的局部極大或極小值；課程要求同時處理全局與局部極值。
曲線向上凹（f'' > 0）或向下凹（f'' < 0）的形態，由二階導數的正負決定。
3逐步講解 Steps
- 第一步：導數的定義與基本原理把割線斜率 [f(x+h)−f(x)]/h 中的 h 趨近零，所得極限就是導數 f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h，這是由基本原理求導。舉個例子：f(x) = x² 時，[f(x+h)−f(x)]/h = (2xh+h²)/h = 2x+h，讓 h 趨近零得 f'(x) = 2x。課程要求學生能從基本原理求 C、x 的 n 次方、根號 x、正弦、餘弦、e 的 x 次方與自然對數的導數；記法 y'、f'(x) 與 dy/dx 三者並行，點值記作 f'(x₀) 或 dy/dx 在 x = x₀ 的值。
- 第二步：基本求導公式公式表必須滾瓜爛熟：(C)' = 0；(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹；(sin x)' = cos x；(cos x)' = −sin x；(tan x)' = sec²x；(eˣ)' = eˣ；(ln x)' = 1/x。舉個例子：y = x⁵ 的導數是 5x⁴；y = √x = x^½ 的導數是 (12)x^(−12)，即 1/(2√x)。凡遇根式與分式，先化成冪形式再套公式，這一步能避免大半的計算錯誤；常數的導數是零，亦要緊記。
- 第三步：加法法則和與差的導數等於導數的和與差，係數可以抽出：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx。多項式逐項處理即可。舉個例子：y = 4x³ − 3x² + 5x − 7，逐項求導得 y' = 12x² − 6x + 5，其中常數項 7 求導得零。這條法則令長式子化整為零，是所有計算的第一步；真正的難點在後面的積、商與鏈式法則，但逐項思維仍然是整理式子的基礎。
- 第四步：積法則兩函數乘積的導數不是導數相乘，而是 d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)：第一個函數的導數乘第二個，加上第一個乘第二個的導數。舉個例子：y = x² eˣ，設 u = x²、v = eˣ，則 y' = eˣ(2x) + x²(eˣ) = eˣ(x² + 2x)。做題時先把 u、v 寫清楚再代入公式，可以大幅減少漏項；凡見到兩個不同類型的函數相乘，例如多項式乘指數、x 乘對數，就應該想起積法則。
- 第五步：商法則d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²：分子是分母乘分子的導數減去分子乘分母的導數，再除以分母的平方，次序不能顛倒。舉個例子：y = x/(2x+1)，y' = [(2x+1)(1) − x(2)]/(2x+1)² = 1/(2x+1)²。若把分子兩項對調，答案是負的，整題報銷；習慣先寫「分母乘上導數」再寫「減分子乘下導數」，最後驗算一下分子首項與分母首項是否同類，可以及早發現次序錯誤。
- 第六步：鏈式法則複合函數 y = f(g(x)) 的導數是 dy/dx = (dy/du)(du/dx)：外層對內層求導，再乘內層的導數。舉個例子：y = (3x+1)⁵，設 u = 3x+1，則 y = u⁵，dy/du = 5u⁴，du/dx = 3，所以 y' = 15(3x+1)⁴。凡根號、對數、三角符號內藏函數，都要記得乘內層導數；漏乘是最常見的錯誤。舉個例子：y = ln(x²+1) 的導數是 2x/(x²+1)，外層得 1/(x²+1)，再乘內層 2x。
- 第七步：隱函數求導與二階導數對不能寫成 y = f(x) 形式的方程，兩邊同時對 x 求導，遇到 y 項時乘 dy/dx，再解出 dy/dx，這是隱函數求導法，須包括對數求導法。導數再求導得二階導數，記作 f''(x) 或 d²y/dx²。舉個例子：y = x³ 時 y' = 3x²，y'' = 6x。二階導數判別法：駐點上 f'' > 0 為局部極小、f'' < 0 為局部極大；f'' 的正負同時給出凹性，向上凹或向下凹。課程明言不包括三階及更高階的導數。
- 第八步：應用：切線、極值與變率求導法三大應用：其一，切線方程，斜率是 f'(x₀)，過點 (x₀, f(x₀))，用點斜式 y − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀)。其二，極大極小，解 f'(x) = 0 的駐點，用二階導數或一階符號變化判別，注意全局與局部極值之分，並檢查定義域端點。其三，變率應用題，把文字情境翻成函數再求導。舉個例子：y = x² 在 x = 3 的切線是 y = 6x − 9；氣球半徑對時間的導數就是膨脹速率，這類題目在 DSE 長題目中出現頻率極高。
5例題示範 Example
例題：求曲線 f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 3 的極值點，並以二階導數判別其性質。
- 求導：f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x−1)(x−2)
- 解 f'(x) = 0：駐點在 x = 1 與 x = 2
- 求二階導數：f''(x) = 12x − 18
- 判別：f''(1) = −6 < 0，曲線向下凹，x = 1 為局部極大；f''(2) = 6 > 0，曲線向上凹，x = 2 為局部極小
- 求坐標：f(1) = 2 − 9 + 12 − 3 = 2；f(2) = 16 − 36 + 24 − 3 = 1
- 答案：極大點為 (1, 2)，極小點為 (2, 1)。答題格式：求導、因式分解解 f'(x) = 0、以 f'' 判別性質、寫出坐標，四步齊全才有滿分；漏寫判別理由是常見失分位。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1導數 f'(a) 的幾何意義是甚麼？
Q2設 y = x⁶ − 4x³，求 dy/dx。
Q3設 y = x² ln x，求 dy/dx。
Q4設 y = (2x − 5)⁴，求 dy/dx。
Q5求曲線 y = x² − 6x + 5 的極小點。
8重點回顧 Recap
- 導數是瞬時變化率：f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h，幾何上是切線斜率。
- 公式表加四法則（加法、積、商、鏈式）是求導的全部工具；根式與分式先化冪再求導。
- 積法則與商法則有固定結構，先寫 u、v 再代入；鏈式法則切記乘內層導數。
- 極值三步：解 f'(x) = 0 得駐點，用 f'' 判別性質，檢查定義域確定全局極值。
- 切線用點斜式 y − f(a) = f'(a)(x − a)；變率應用題先設變數寫函數再求導。