極限與變化率
基礎極限描述自變量趨近某值時函數值無限趨近的目標；掌握直接代入、因式分解與有理化三招，配合趨向無窮時比較最高次數與兩個標準極限，再由平均變化率走到瞬時變化率，就為求導法打好基礎。
- 極限描述 x 趨近 a 時函數值無限趨近的目標，不要求函數在 a 有定義。
- 求極限先試直接代入；得零比零就因式分解或有理化，約去公因式後才代入。
- 趨向無窮的極限比較最高次數：同次取係數之比，分子低次得零，分子高次則極限不存在。
文體小知識：數學概念說明文——講解極限的直觀概念與四種求法（直接代入、因式分解、有理化、比較次數），再以兩個標準極限與平均變化率收結，是微積分的入門課。
§課文原文 Passage
1微積分研究的對象是變化。汽車在高速公路上行駛，某半小時內行駛了三十公里，平均速率是每小時六十公里，但車速錶的讀數卻時刻在變。想知道汽車在某一瞬間的快慢，就要比較無限短的時間內所走的距離，這個想法正是極限概念的起點，也是整個微積分故事的開端。
2極限描述自變量趨近某個數時，函數值無限趨近的目標。舉個例子：函數值等於 x 的平方，當 x 趨近三時，函數值趨近九，我們便說函數在該處的極限是九。要注意極限描述的是趨近的趨勢，函數在該點有沒有定義、函數值是否等於極限值，都不影響極限的存在。
3求極限的第一招是直接代入。課程指出，函數的和、差、積、商、純量乘法與複合函數的極限都有定理支持，可以逐部分求極限再合併，而且不須證明；其中商的極限定理要求分母的極限不為零。代數函數大多是連續的，代入後若得到確定的數，極限就是該數。
4若代入後分子與分母同時趨近零，得到零比零的不定式，就要先化簡。舉個例子：x 趨近二時，把 x 的平方減四除以 x 減二，代入得零比零；把分子因式分解為 x 加二與 x 減二的積，約去公因式後剩下 x 加二，代入得四。含根式的極限則常用有理化：分子分母同乘共軛根式，把根號消除後再代入。
5當 x 趨向無窮，須比較分子與分母的最高次數：次數相同則極限是最高次項係數之比，分子次數較低則極限是零。兩個標準極限也要記熟：角度趨近零時，正弦值與該角度之比趨近一；x 趨近零時，e 的 x 次方減一再除以 x 也趨近一。由平均變化率取極限得瞬時變化率，極限正是下一課導數的基石。
1重點摘要 Summary
極限描述自變量趨近某值時函數值無限趨近的目標；掌握直接代入、因式分解與有理化三招，配合趨向無窮時比較最高次數與兩個標準極限，再由平均變化率走到瞬時變化率，就為求導法打好基礎。
2生字卡 Vocabulary
自變量趨近某值時函數值無限趨近的數，記作 lim x→a f(x)。
自變量或函數值不斷接近某數的過程，無須真正到達該數。
把 a 代入函數求極限的方法；結果為確定數時，極限就是該數。
代入後得零比零等形式，極限未定，須先化簡再求。
把多項式寫成因式的乘積，藉此約去公因式以消除零比零。
分子或分母同乘共軛根式以消除根號的技巧，利用平方差展開。
函數的和、差、積、商、純量乘法與複合函數極限的運算定理，不須證明即可使用。
x 無限增大時函數值的趨勢；對有理函數，比較分子與分母的最高次數判斷。
lim θ→0 (sin θ/θ) = 1 及 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1，是三角與指數函數極限的基礎。
函數值的改變量除以自變量的改變量，即 [f(b)−f(a)]/(b−a)，對應割線的斜率。
3逐步講解 Steps
- 第一步：極限的直觀概念極限研究的是趨近而非到達。設函數值為 x 的平方，當 x 由二點九、二點九九、二點九九九一路逼近三時，函數值依次是八點四一、八點九四零一、八點九九四，步步逼近九；由右邊三點一、三點零一逼近亦然。舉個例子：無論從左邊還是右邊趨近，函數值都無限趨近九，我們就說 x 趨近三時極限是九，記作 lim x→3 x² = 9。即使函數在該點沒有定義，或函數值不等於極限值，趨近的趨勢依然存在，這是極限最基本的心法。
- 第二步：極限定理與直接代入課程列出六條極限定理：和、差、積、商、純量乘法與複合函數的極限，全部不須證明即可使用。意思是極限可以逐部分求：積的極限等於極限的積、商的極限等於極限的商，但商的情形要求分母的極限不為零。舉個例子：求 lim x→2 (3x²+1)，直接代入得三乘四加一等於十三；多項式在任何點的極限都等於該點的函數值，所以絕大多數題目的第一步，都是先試直接代入。
- 第三步：零比零不定式與因式分解直接代入若得出零比零，並非代表極限不存在，而是提示我們先化簡。舉個例子：求 lim x→3 (x²−9)/(x−3)，代入得零比零；把分子分解為 (x+3)(x−3)，由於 x 趨近三但 x 不等於三，可以約去 (x−3)，式子變成 x+3，再代入得六。分解、約去、代入，是處理零比零的標準三步；兩個多項式相除的極限題，多數都能靠這一招解決，記得約去後才可代入。
- 第四步：有理化消除根號含根式的零比零題目常用有理化：分子分母同乘共軛根式，利用 (a−b)(a+b) = a²−b² 把根號展開成差。舉個例子：求 lim x→0 (√(x+9)−3)/x，同乘共軛式 (√(x+9)+3) 後，分子變成 (x+9)−9 = x，整式化為 1/(√(x+9)+3)，再代入得六分之一。共軛根式的選擇有規律：式子是根號與常數相減，就乘根號加常數；反之亦然，目標只有一個——把根號變成平方差。
- 第五步：趨向無窮的極限x 趨向無窮時直接代入沒有意義，須比較分子與分母的最高次數。次數相同，極限是最高次項係數之比；分子次數較低，極限是零；分子次數較高，函數值無界增大，極限不存在。舉個例子：lim x→∞ (3x²−x+1)/(2x²+5) = 32，因為兩邊最高次都是二次；而 (5x+1)/x² 趨近零。實際操作是把分子分母同除以 x 的最高次冪，令各項有的趨近零、有的留下係數，答案便一目了然。
- 第六步：兩個標準極限兩條標準極限是三角與指數函數極限的鑰匙，必須牢記：lim θ→0 (sin θ/θ) = 1，以及 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1。使用的關鍵是把式子湊成標準形。舉個例子：求 lim x→0 (sin 5x)/x，把式子寫成五乘 sin 5x 除以 5x，後半部分正是標準形，趨近一，所以極限是五；同樣，(sin 3x)/(sin 5x) 趨近五分之三。湊形時緊記係數要前後一致，這是考試最常設的陷阱。
- 第七步：由平均變化率到瞬時變化率變化率分兩種：平均變化率是 [f(b)−f(a)]/(b−a)，對應曲線上兩點連成的割線的斜率；瞬時變化率則是區間無限縮短時平均變化率的極限，對應某點切線的斜率。舉個例子：汽車兩小時內行駛一百二十公里，平均速率是每小時六十公里，但車速錶顯示的瞬時速率時刻在變；想知道某一刻的快慢，就讓時間區間不斷收縮趨向零，取極限。這個極限正是下一課導數的定義。
5例題示範 Example
例題：求極限 lim x→0 (√(x+9)−3)/x。
- 直接代入 x = 0，得 (3−3)/0，屬零比零不定式，須先化簡
- 分子分母同乘共軛根式 (√(x+9)+3)：原式 = [(√(x+9)−3)(√(x+9)+3)]/[x(√(x+9)+3)]
- 利用平方差：分子 = (x+9)−9 = x，式子化為 x/[x(√(x+9)+3)] = 1/(√(x+9)+3)（x ≠ 0）
- 代入 x = 0：極限 = 1/(√9+3) = 16
- 答案：極限為 16。處理含根式的零比零極限，先有理化分子，約去引致零的因式後才代入；每一步都要保留「x 趨近零但 x ≠ 0」的理據，答案以分數 16 作結。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1極限 lim x→a f(x) 描述的是甚麼？
Q2求 lim x→2 (x²−4)/(x−2)。
Q3求 lim x→∞ (5x²+3x)/(2x²+1)。
Q4求 lim x→0 (sin 4x)/x。
Q5設 f(x) = x²，求 f 由 x = 1 至 x = 4 的平均變化率。
8重點回顧 Recap
- 極限描述 x 趨近 a 時函數值無限趨近的目標，不要求函數在 a 有定義。
- 求極限先試直接代入；得零比零就因式分解或有理化，約去公因式後才代入。
- 趨向無窮的極限比較最高次數：同次取係數之比，分子低次得零，分子高次則極限不存在。
- 標準極限 lim θ→0 (sin θ/θ) = 1 與 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1 須牢記，並懂得把式子湊成標準形。
- 平均變化率是割線斜率；區間收縮取極限得瞬時變化率，正是下一課導數的定義。