點及區間估計
進階統計推斷由樣本走向總體：樣本平均值的抽樣分佈以 μ 為中心、σ 除以根號 n 為標準誤，n 足夠大時近似正態；以 x̄ 點估計 μ，再以 x̄ 加減 1.96 倍標準誤造 95% 置信區間，區間寬窄由樣本大小控制。
- 統計推斷由樣本到總體：x̄ 估 μ、s² 估 σ²；統計量隨機、參數固定。
- x̄ 的抽樣分佈：E(x̄) = μ、Var(x̄) = σ²/n、標準誤 σ/√n；n 大時近似正態（中心極限定理）。
- 樣本方差 s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n−1)，分母 n−1 保證無偏。
文體小知識：數學概念說明文——由總體與樣本講起，說明樣本平均值的抽樣分佈、標準誤、中心極限定理、點估計與無偏性，再構造和解讀總體平均值的置信區間，是統計推斷的核心課。
§課文原文 Passage
1統計推斷的核心問題是：總體太大，無法逐一量度，只能抽樣，再由樣本推算總體。描述總體的常數如平均值 μ 與方差 σ² 稱為總體參數，它們固定不變但通常未知；由樣本算出的量如樣本平均值 x̄ 與樣本方差 s² 稱為樣本統計量，隨樣本而變。舉個例子：想知道全港中五學生的平均身高，無法量度所有人，只能隨機抽一百人。
2樣本平均值本身也是隨機變量，有自己的分佈，稱為抽樣分佈。課程指出：若總體平均值為 μ、方差為 σ²，則 E(x̄) = μ 且 Var(x̄) = σ²/n；x̄ 的標準差叫標準誤，等於 σ 除以根號 n。樣本越大，x̄ 越集中於 μ 附近。若總體本身服從正態分佈，則不論 n 大小，x̄ 都服從 N(μ, σ²/n)。
3總體不是正態怎麼辦？中心極限定理回答：只要 n 足夠大，不論總體分佈如何，x̄ 的分佈都近似正態。舉個例子：擲一粒公平骰子，點數是均勻分佈，期望值 3.5；但一次擲六十粒取平均，平均點數的分佈已近似以 3.5 為中心的鐘形。這條定理是統計推斷的引擎，令正態方法適用於幾乎一切大樣本。
4點估計用單一數值估計參數：以 x̄ 估 μ，以 s² 估 σ²。好估計量的標準之一是無偏：估計量的期望值恰好等於被估的參數。E(x̄) = μ，所以 x̄ 是 μ 的無偏估計量；樣本方差定義為各觀察值離差平方和除以 n 減一，分母刻意用 n−1，正是令 s² 的期望值等於 σ²。若分母用 n，s² 會系統性地低估總體方差。
5點估計不交代誤差，區間估計補上這一環：以 x̄ 為中心造一個區間，並聲明置信水平。95% 置信區間的正確解讀：重複抽樣造區間，長期約 95% 的區間會蓋住 μ；μ 是固定常數，隨機的是區間。從方差已知的正態總體抽樣，95% 區間為 x̄ 加減 1.96 倍標準誤；n 大而 σ 未知時，可用樣本標準差 s 代替。
1重點摘要 Summary
統計推斷由樣本走向總體：樣本平均值的抽樣分佈以 μ 為中心、σ 除以根號 n 為標準誤，n 足夠大時近似正態；以 x̄ 點估計 μ，再以 x̄ 加減 1.96 倍標準誤造 95% 置信區間，區間寬窄由樣本大小控制。
2生字卡 Vocabulary
描述總體的固定常數，如平均值 μ、方差 σ²；通常未知，靠樣本估計。
由樣本算出的量，如樣本平均值 x̄、樣本方差 s²；隨樣本而變，用來估計參數。
統計量在所有可能樣本下的概率分佈，例如 x̄ 的分佈。
x̄ 的標準差，等於 σ/√n；量度用 x̄ 估計 μ 的精確度。
n 足夠大時，不論總體分佈如何，x̄ 的分佈近似正態。
用單一數值估計參數：以 x̄ 估 μ，以 s² 估 σ²。
期望值等於被估參數的估計量；E(x̄) = μ，s² 除以 n−1 後期望值亦為 σ²。
s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n−1)；分母用 n−1 以保證無偏。
以統計量為中心、附置信水平的參數區間估計，如 x̄ ± 1.96σ/√n。
造區間方法的長期成功率；95% 區間對應臨界值 1.96，99% 對應 2.575。
3逐步講解 Steps
- 第一步：總體與樣本統計推斷的核心問題：總體太大無法逐一量度，只能抽樣，再由樣本統計量推斷總體參數。總體平均值 μ 與方差 σ² 是固定的未知常數；樣本平均值 x̄ 與樣本方差 s² 卻隨樣本而變，是隨機變量。舉個例子：全港中五學生約八萬人，平均身高 μ 未知；隨機抽 100 人量得 x̄ = 168 厘米，這個數字因樣本而異，但始終圍繞 μ 波動，分清參數與統計量是本課一切討論的起點。
- 第二步：樣本平均值的抽樣分佈若總體平均值為 μ、方差為 σ²，則樣本平均值滿足 E(x̄) = μ 與 Var(x̄) = σ²/n；x̄ 的標準差稱為標準誤，等於 σ/√n。樣本越大，x̄ 越集中於 μ 附近。舉個例子：σ = 12、n = 36 時標準誤是 12÷6 = 2；若樣本擴大到 n = 144，標準誤減半為 1，估計精確一倍。標準誤與根號 n 成反比，這是「樣本越大越準」的數學表述，也是設計抽樣方案的依據。
- 第三步：x̄ 的分佈形狀與中心極限定理若總體本身正態，X ~ N(μ, σ²)，則不論 n 大小，x̄ ~ N(μ, σ²/n)。若總體不是正態，中心極限定理指出：只要 n 足夠大，x̄ 的分佈仍然近似正態。舉個例子：擲一粒公平骰子，點數是均勻分佈，期望值 3.5；但一次擲 60 粒取平均，平均點數的分佈已近似以 3.5 為中心的鐘形。這條定理令正態方法適用於幾乎一切大樣本，是統計推斷的引擎。
- 第四步：點估計與無偏性點估計用單一數值估計參數：以 x̄ 估 μ，以 s² 估 σ²。好估計量的標準之一是無偏：估計量的期望值恰好等於被估參數。E(x̄) = μ，所以 x̄ 是 μ 的無偏估計量；樣本方差定義為 s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n−1)，分母刻意用 n−1，正是令 E(s²) = σ²。舉個例子：抽 5 罐汽水容量為 249、251、250、248、252 毫升，x̄ = 250；若分母用 n 而非 n−1，算出的方差會系統性偏小，長期低估離散程度。
- 第五步：置信區間的概念點估計不交代誤差多大，區間估計補上這一環：以 x̄ 為中心造一個區間，並聲明置信水平。95% 置信區間的正確解讀：重複抽樣並造區間，長期而言約 95% 的區間會蓋住 μ；μ 是固定常數，隨機的是區間而非 μ。舉個例子：民意調查報告「支持率 52%，誤差正負三個百分點（95% 置信）」，意思是區間 49% 至 55% 蓋住真實支持率的長期成功率為九成五。
- 第六步：造置信區間（已知 σ）從方差已知為 σ² 的正態總體抽取大小 n 的隨機樣本，總體平均值 μ 的 95% 置信區間是 x̄ ± 1.96 × σ/√n；一般地，100(1−α)% 區間用對應的臨界值（99% 用 2.575）。三步：算 x̄、算標準誤 σ/√n、乘臨界值得誤差幅度。舉個例子：n = 36、x̄ = 52、σ = 6：標準誤 = 1，95% 區間是 52 ± 1.96，即 (50.04, 53.96)；換成 99% 區間則是 52 ± 2.575，區間更寬，換取更高信心。
- 第七步：σ 未知的實際情況與 n 的角色總體方差通常未知；課程指出 n 足夠大時，可用樣本標準差 s 代替 σ，區間寫作 x̄ ± 1.96 × s/√n。區間寬度與根號 n 成反比：誤差要減半，樣本須擴大四倍。舉個例子：工廠希望容量估計的 95% 誤差幅度不超過 1 毫升，若 s = 4，須 n ≥ (1.96×4)² = 61.5，實際取 n = 64。這是規劃抽樣方案的標準算法，也解釋了為何大型調查動輒訪問上千人。
5例題示範 Example
例題：汽水廠隨機抽取 36 罐汽水，樣本平均容量為 250.4 毫升。已知總體標準差為 6 毫升，求總體平均容量的 95% 置信區間。
- 已知 n = 36、x̄ = 250.4、σ = 6；95% 置信水平對應臨界值 1.96
- 標準誤 = σ/√n = 6/√36 = 1
- 誤差幅度 = 1.96 × 1 = 1.96
- 置信區間 = 250.4 ± 1.96，即 (248.44, 252.36)
- 答案：總體平均容量的 95% 置信區間為 (248.44, 252.36) 毫升。答題步驟：寫出公式 x̄ ± 1.96σ/√n、計算標準誤、代入求上下限，並寫明單位；漏除根號 n 是最常見錯誤。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1μ 與 x̄ 分別是參數還是統計量？
Q2設 σ = 12、n = 36，求 x̄ 的標準差。
Q3樣本大小增至原來的四倍，標準誤如何變化？
Q4為何樣本方差的分母用 n−1 而不是 n？
Q5設 x̄ = 100、σ = 15、n = 25，求 μ 的 95% 置信區間。
8重點回顧 Recap
- 統計推斷由樣本到總體：x̄ 估 μ、s² 估 σ²；統計量隨機、參數固定。
- x̄ 的抽樣分佈：E(x̄) = μ、Var(x̄) = σ²/n、標準誤 σ/√n；n 大時近似正態（中心極限定理）。
- 樣本方差 s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n−1)，分母 n−1 保證無偏。
- 已知 σ 的 95% 區間：x̄ ± 1.96σ/√n；n 大而 σ 未知，用 s 代替 σ。
- 區間寬度與根號 n 成反比：誤差減半須樣本四倍；置信水平與精確度互相抵換。