求導法及積分法（單元一）
基礎單元一的微積分主線：以極限認識導數概念，套用冪、指數、對數公式與四則鏈式法則，以二階導數判別極值與凹性，再把積分用作還原函數；留意 M1 不考三角函數求導，卻最重視應用題的完整論證。
- M1 微積分四站：極限定義導數、公式與法則求導、應用題、不定積分還原函數。
- M1 公式表沒有三角函數求導，但有 log_a x 與 aˣ；與 M2 範圍不同，溫習時要分清。
- 二階導數判別法：f'' > 0 局部極小、f'' < 0 局部極大；凹性與極值性質一併交代。
文體小知識：數學概念說明文——整合單元一的微積分主線：導數概念與記法、求導公式與四則鏈式法則、二階導數判別與凹性、變率極值應用題與不定積分，並點出 M1 與 M2 的範圍分別。
§課文原文 Passage
1單元一的微積分由四站組成：導數概念（透過極限認識）、求導法（公式與法則）、應用（切線、變率、極大極小）、不定積分（求導的逆過程）。與單元二的主要分別在範圍：M1 的求導公式只涵蓋代數函數、指數函數與對數函數，不包括三角函數的導數，也沒有隱函數求導法；但 M1 極重視應用題，長題目往往把求導與積分串成一條鏈。
2導數由極限定義：割線斜率在水平距離趨近零時的極限。M1 要求認識導數的概念與記法，包括 y 一撇、f 一撇、dy 除以 dx，以及在某點取值的寫法，但不須用基本原理作冗長計算。導數的幾何意義是切線斜率，物理意義是瞬時變化率，兩種解讀在應用題中輪流出場。
3M1 的求導公式表：常數的導數是零；x 的 n 次方求導得 n 乘 x 的 n 減一次方；e 的 x 次方求導是自身；自然對數求導得 x 分之一；以 a 為底的對數求導得 x 乘 ln a 分之一；a 的 x 次方求導得本身乘 ln a。留意 e 的 x 次方與自然對數正是 a 等於 e 時的特例，公式之間互相呼應。
4法則與 M2 相同：加法法則逐項處理；積法則、商法則有固定結構；鏈式法則外層乘內層。二階導數是導數的導數，配合二階導數判別法確定駐點性質：二階導數為正是局部極小，為負是局部極大；其正負亦給出凹性。應用題須同時交代全局與局部極值，別忘記檢查定義域端點。
5積分方面，M1 只要求冪公式、倒數公式與指數公式，配合線性性質與代換積分法，不包括分部積分法。最典型的應用是由 f 一撇與初始條件還原 f：積分得曲線族，代入條件定 C。無論求導還是積分，應用題的答題格式——設變數、寫函數、定義域、求解、判別、作答——才是分數所在。
1重點摘要 Summary
單元一的微積分主線：以極限認識導數概念，套用冪、指數、對數公式與四則鏈式法則，以二階導數判別極值與凹性，再把積分用作還原函數；留意 M1 不考三角函數求導，卻最重視應用題的完整論證。
2生字卡 Vocabulary
y'、f'(x) 與 dy/dx 三種等價記法；在某點取值寫作 dy/dx 在 x = x₀ 的值。
用極限 lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 認識導數概念；M1 不須以此作冗長計算。
f'(x₀) 即曲線在 x = x₀ 處切線的斜率，是導數的幾何意義。
dy/dx = (dy/du)(du/dx)；複合函數求導，外層導數乘內層導數。
駐點處 f'' > 0 為局部極小、f'' < 0 為局部極大。
f'' > 0 曲線向上凹，f'' < 0 曲線向下凹。
整個定義域上的最大最小值，與鄰域內的相對極值；應用題須兼顧兩者。
導數作瞬時變化率；應用題中的速率、成本變化、膨脹速率等。
求導的逆過程，∫f(x)dx = F(x) + C；M1 只要求基本公式與代換法。
設 u 化簡被積函數後積分再回代；M1 不包括分部積分法。
3逐步講解 Steps
- 第一步：單元一微積分的地圖M1 的微積分由四站組成：導數概念（透過極限認識）、求導法（公式與法則）、應用（切線、變率、極大極小）、不定積分（求導的逆過程）。與 M2 的主要分別：M1 的求導公式只涵蓋代數、指數與對數函數，不包括三角函數的導數，也沒有隱函數求導法；但 M1 極重視應用題。舉個例子：正弦的導數屬 M2 範圍，M1 試卷不會要求；複習時分清兩張課程清單，能避免溫習白費。
- 第二步：導數概念與記法導數由極限定義：f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h。M1 要求認識概念與記法 y'、f'(x)、dy/dx，以及在某點取值的寫法 dy/dx 在 x = x₀ 的值，但不須用基本原理作冗長計算。舉個例子：f(x) = x² 在 x = 3 的導數 f'(3) = 6，就是曲線在 x = 3 處切線的斜率；寫成 dy/dx 在 x = 3 處等於 6 亦可。幾何與變率兩種解讀要並存於腦海，應用題會輪流借用。
- 第三步：M1 求導公式表M1 公式：(C)' = 0；(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹；(eˣ)' = eˣ；(ln x)' = 1/x；(log_a x)' = 1/(x ln a)；(aˣ)' = aˣ ln a。留意 e 的 x 次方與自然對數是 a = e 的特例。舉個例子：y = 2ˣ 的導數是 2ˣ ln 2；y = log₁₀ x 的導數是 1/(x ln 10)。凡遇常數倍先抽出係數，凡遇根式分式先化冪，這兩個習慣令 M1 題目的計算量大幅下降。
- 第四步：四則與鏈式法則加法法則逐項處理；積法則 d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)；商法則 d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²；鏈式法則 dy/dx = (dy/du)(du/dx)。舉個例子：y = x² eˣ 用積法則得 eˣ(x² + 2x)；y = (ln x)² 用鏈式法則得 2 ln x ÷ x。M1 題目常把兩條法則疊在一起，例如 x 乘 e 的三 x 次方，先辨結構（積法則加鏈式法則）再動手，次序清晰就不會漏項。
- 第五步：二階導數、凹性與極值二階導數 f''(x) 是導數的導數，記作 d²y/dx²。二階導數判別法：駐點處 f'' > 0 是局部極小、f'' < 0 是局部極大；f'' 的正負號同時給出凹性。應用題須交代全局與局部極值，並檢查端點與定義域。舉個例子：A(x) = 20x − x² 的 A'' = −2 < 0，駐點 x = 10 是局部極大；因為開口向下只有一個駐點、端點處面積為零，它就是全局最大。判別與檢查，正是長題目的主要給分位。
- 第六步：變率應用題的套路應用題固定六步：設變數、寫目標函數、寫定義域、求導解駐點、判別性質、作答。舉個例子：用 40 米籬笆圍長方形，設長為 x 米，闊為 20 − x 米（0 < x < 20），面積 A(x) = x(20 − x)；A'(x) = 20 − 2x = 0 得 x = 10，A'' < 0 確認極大，最大面積 100 平方米，此時長方形是正方形。文字題的分數往往落在「有沒有寫定義域與判別」上，計算反而不是最難的部分。
- 第七步：M1 的不定積分M1 積分公式：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）、∫(1/x)dx = ln x + C、∫eˣ dx = eˣ + C；配合線性性質與代換積分法，不包括分部積分法。應用上常由 f'(x) 與初始條件還原 f(x)。舉個例子：f'(x) = 6x² + eˣ 且 f(0) = 4：積分得 f(x) = 2x³ + eˣ + C，代入得 1 + C = 4，即 C = 3，故 f(x) = 2x³ + eˣ + 3。求導與積分在同一題內一往一返，是 M1 長題目的典型結構。
5例題示範 Example
例題：用 40 米的籬笆圍一個長方形花圃，求面積的最大值，並證明該值確是最大。
- 設長為 x 米，則闊為 (40 − 2x)÷2 = (20 − x) 米；定義域為 0 < x < 20
- 寫出面積函數：A(x) = x(20 − x) = 20x − x²
- 求導：A'(x) = 20 − 2x；解 A'(x) = 0 得 x = 10
- 判別：A''(x) = −2 < 0，曲線向下凹，x = 10 為局部極大；A 在 (0, 20) 內只有一個駐點且端點處 A = 0，故為全局最大
- 計算：A(10) = 10 × 10 = 100
- 答案：最大面積為 100 平方米，此時花圃是 10 米乘 10 米的正方形。答題須包含設變數、寫定義域、求導解駐點、判別性質、結論五部分；漏寫判別或定義域常被扣分。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1下列哪一個導數不屬於 M1 課程範圍：(sin x)'、(ln x)'、(2ˣ)'？
Q2設 f(x) = 2eˣ − 3x²，求 f'(x)。
Q3設 y = ln(4x + 1)，求 dy/dx。
Q4某駐點處 f''(a) < 0，可以得出甚麼結論？
Q5設 f'(x) = 6x² + eˣ 且 f(0) = 4，求 f(x)。
8重點回顧 Recap
- M1 微積分四站：極限定義導數、公式與法則求導、應用題、不定積分還原函數。
- M1 公式表沒有三角函數求導，但有 log_a x 與 aˣ；與 M2 範圍不同，溫習時要分清。
- 二階導數判別法：f'' > 0 局部極小、f'' < 0 局部極大；凹性與極值性質一併交代。
- 應用題六步：設變數、寫函數、寫定義域、求導解駐點、判別、作答。
- 積分必寫 C；有初始條件就代入定 C，並以求導驗證答案。