极限与变化率
基础极限描述自变量趋近某值时函数值无限趋近的目标；掌握直接代入、因式分解与有理化三招，配合趋向无穷时比较最高次数与两个标准极限，再由平均变化率走到瞬时变化率，就为求导法打好基础。
- 极限描述 x 趋近 a 时函数值无限趋近的目标，不要求函数在 a 有定义。
- 求极限先试直接代入；得零比零就因式分解或有理化，约去公因式后才代入。
- 趋向无穷的极限比较最高次数：同次取系数之比，分子低次得零，分子高次则极限不存在。
文体小知识：数学概念说明文——讲解极限的直观概念与四种求法（直接代入、因式分解、有理化、比较次数），再以两个标准极限与平均变化率收结，是微积分的入门课。
§课文原文 Passage
1微积分研究的对象是变化。汽车在高速公路上行驶，某半小时内行驶了三十公里，平均速率是每小时六十公里，但车速表的读数却时刻在变。想知道汽车在某一瞬间的快慢，就要比较无限短的时间内所走的距离，这个想法正是极限概念的起点，也是整个微积分故事的开端。
2极限描述自变量趋近某个数时，函数值无限趋近的目标。举个例子：函数值等于 x 的平方，当 x 趋近三时，函数值趋近九，我们便说函数在该处的极限是九。要注意极限描述的是趋近的趋势，函数在该点有没有定义、函数值是否等于极限值，都不影响极限的存在。
3求极限的第一招是直接代入。课程指出，函数的和、差、积、商、纯量乘法与复合函数的极限都有定理支持，可以逐部分求极限再合并，而且不须证明；其中商的极限定理要求分母的极限不为零。代数函数大多是连续的，代入后若得到确定的数，极限就是该数。
4若代入后分子与分母同时趋近零，得到零比零的不定式，就要先化简。举个例子：x 趋近二时，把 x 的平方减四除以 x 减二，代入得零比零；把分子因式分解为 x 加二与 x 减二的积，约去公因式后剩下 x 加二，代入得四。含根式的极限则常用有理化：分子分母同乘共轭根式，把根号消除后再代入。
5当 x 趋向无穷，须比较分子与分母的最高次数：次数相同则极限是最高次项系数之比，分子次数较低则极限是零。两个标准极限也要记熟：角度趋近零时，正弦值与该角度之比趋近一；x 趋近零时，e 的 x 次方减一再除以 x 也趋近一。由平均变化率取极限得瞬时变化率，极限正是下一课导数的基石。
1重点摘要 Summary
极限描述自变量趋近某值时函数值无限趋近的目标；掌握直接代入、因式分解与有理化三招，配合趋向无穷时比较最高次数与两个标准极限，再由平均变化率走到瞬时变化率，就为求导法打好基础。
2生字卡 Vocabulary
自变量趋近某值时函数值无限趋近的数，记作 lim x→a f(x)。
自变量或函数值不断接近某数的过程，无须真正到达该数。
把 a 代入函数求极限的方法；结果为确定数时，极限就是该数。
代入后得零比零等形式，极限未定，须先化简再求。
把多项式写成因式的乘积，借此约去公因式以消除零比零。
分子或分母同乘共轭根式以消除根号的技巧，利用平方差展开。
函数的和、差、积、商、纯量乘法与复合函数极限的运算定理，不须证明即可使用。
x 无限增大时函数值的趋势；对有理函数，比较分子与分母的最高次数判断。
lim θ→0 (sin θ/θ) = 1 及 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1，是三角与指数函数极限的基础。
函数值的改变量除以自变量的改变量，即 [f(b)−f(a)]/(b−a)，对应割线的斜率。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：极限的直观概念极限研究的是趋近而非到达。设函数值为 x 的平方，当 x 由二点九、二点九九、二点九九九一路逼近三时，函数值依次是八点四一、八点九四零一、八点九九四，步步逼近九；由右边三点一、三点零一逼近亦然。举个例子：无论从左边还是右边趋近，函数值都无限趋近九，我们就说 x 趋近三时极限是九，记作 lim x→3 x² = 9。即使函数在该点没有定义，或函数值不等于极限值，趋近的趋势依然存在，这是极限最基本的心法。
- 第二步：极限定理与直接代入课程列出六条极限定理：和、差、积、商、纯量乘法与复合函数的极限，全部不须证明即可使用。意思是极限可以逐部分求：积的极限等于极限的积、商的极限等于极限的商，但商的情形要求分母的极限不为零。举个例子：求 lim x→2 (3x²+1)，直接代入得三乘四加一等于十三；多项式在任何点的极限都等于该点的函数值，所以绝大多数题目的第一步，都是先试直接代入。
- 第三步：零比零不定式与因式分解直接代入若得出零比零，并非代表极限不存在，而是提示我们先化简。举个例子：求 lim x→3 (x²−9)/(x−3)，代入得零比零；把分子分解为 (x+3)(x−3)，由于 x 趋近三但 x 不等于三，可以约去 (x−3)，式子变成 x+3，再代入得六。分解、约去、代入，是处理零比零的标准三步；两个多项式相除的极限题，多数都能靠这一招解决，记得约去后才可代入。
- 第四步：有理化消除根号含根式的零比零题目常用有理化：分子分母同乘共轭根式，利用 (a−b)(a+b) = a²−b² 把根号展开成差。举个例子：求 lim x→0 (√(x+9)−3)/x，同乘共轭式 (√(x+9)+3) 后，分子变成 (x+9)−9 = x，整式化为 1/(√(x+9)+3)，再代入得六分之一。共轭根式的选择有规律：式子是根号与常数相减，就乘根号加常数；反之亦然，目标只有一个——把根号变成平方差。
- 第五步：趋向无穷的极限x 趋向无穷时直接代入没有意义，须比较分子与分母的最高次数。次数相同，极限是最高次项系数之比；分子次数较低，极限是零；分子次数较高，函数值无界增大，极限不存在。举个例子：lim x→∞ (3x²−x+1)/(2x²+5) = 32，因为两边最高次都是二次；而 (5x+1)/x² 趋近零。实际操作是把分子分母同除以 x 的最高次幂，令各项有的趋近零、有的留下系数，答案便一目了然。
- 第六步：两个标准极限两条标准极限是三角与指数函数极限的钥匙，必须牢记：lim θ→0 (sin θ/θ) = 1，以及 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1。使用的关键是把式子凑成标准形。举个例子：求 lim x→0 (sin 5x)/x，把式子写成五乘 sin 5x 除以 5x，后半部分正是标准形，趋近一，所以极限是五；同样，(sin 3x)/(sin 5x) 趋近五分之三。凑形时紧记系数要前后一致，这是考试最常设的陷阱。
- 第七步：由平均变化率到瞬时变化率变化率分两种：平均变化率是 [f(b)−f(a)]/(b−a)，对应曲线上两点连成的割线的斜率；瞬时变化率则是区间无限缩短时平均变化率的极限，对应某点切线的斜率。举个例子：汽车两小时内行驶一百二十公里，平均速率是每小时六十公里，但车速表显示的瞬时速率时刻在变；想知道某一刻的快慢，就让时间区间不断收缩趋向零，取极限。这个极限正是下一课导数的定义。
5例题示范 Example
例题：求极限 lim x→0 (√(x+9)−3)/x。
- 直接代入 x = 0，得 (3−3)/0，属零比零不定式，须先化简
- 分子分母同乘共轭根式 (√(x+9)+3)：原式 = [(√(x+9)−3)(√(x+9)+3)]/[x(√(x+9)+3)]
- 利用平方差：分子 = (x+9)−9 = x，式子化为 x/[x(√(x+9)+3)] = 1/(√(x+9)+3)（x ≠ 0）
- 代入 x = 0：极限 = 1/(√9+3) = 16
- 答案：极限为 16。处理含根式的零比零极限，先有理化分子，约去引致零的因式后才代入；每一步都要保留「x 趋近零但 x ≠ 0」的理据，答案以分数 16 作结。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1极限 lim x→a f(x) 描述的是甚么？
Q2求 lim x→2 (x²−4)/(x−2)。
Q3求 lim x→∞ (5x²+3x)/(2x²+1)。
Q4求 lim x→0 (sin 4x)/x。
Q5设 f(x) = x²，求 f 由 x = 1 至 x = 4 的平均变化率。
8重点回顾 Recap
- 极限描述 x 趋近 a 时函数值无限趋近的目标，不要求函数在 a 有定义。
- 求极限先试直接代入；得零比零就因式分解或有理化，约去公因式后才代入。
- 趋向无穷的极限比较最高次数：同次取系数之比，分子低次得零，分子高次则极限不存在。
- 标准极限 lim θ→0 (sin θ/θ) = 1 与 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1 须牢记，并懂得把式子凑成标准形。
- 平均变化率是割线斜率；区间收缩取极限得瞬时变化率，正是下一课导数的定义。