不定积分
基础不定积分是求导的逆过程：由导数还原原函数，答案须加上积分常数 C；掌握幂、倒数、指数与三角的积分公式，配合线性性质与代换积分法，就能由变率重建曲线，为定积分铺路。
- 不定积分是求导的逆过程：∫f(x)dx 代表所有满足 F'(x) = f(x) 的原函数。
- 积分常数 C 对应曲线族；有条件就用条件定 C，无条件就保留 C，落笔即写加 C。
- 幂公式指数加一再除以新指数；倒数归 ln x；eˣ、sin、cos、sec² 各有对应公式。
文体小知识：数学概念说明文——由求导的逆过程引入不定积分与积分常数 C，整理幂、倒数、指数与三角的积分公式、线性性质与代换积分法，并应用于由变率还原曲线。
§课文原文 Passage
1上一课由函数求导数，这一课走回头路：已知导数，求原来的函数。这个过程叫不定积分法，课程明确指出它是求导法的逆过程。记法写作不定积分号 f(x) 乘 dx，其中 f(x) 称为被积函数，dx 标明积分变量是 x。积分与求导互为逆运算，正如加法与减法、乘方与开方。
2为甚么叫「不定」？因为任何函数加上常数后，导数不变：x 的平方、x 的平方加一、x 的平方减七，求导全是二 x。所以由导数还原时，答案不是一条曲线，而是一族上下平移的曲线，要加上一个任意常数 C，称为积分常数。DSE 每年都会惩罚漏写 C 的考生，养成落笔即写加 C 的习惯。
3基本公式与求导公式一一对应。幂公式是积分的核心：x 的 n 次方积分，指数加一，再除以新指数，即 x 的 n 加一次方除以 n 加一，然后加 C；唯一的例外是倒数，x 分之一的积分是自然对数 ln x 加 C。举个例子：x 的四次方积分得 x 的五次方除以五；根号 x 要先化成 x 的二分之一次方再积。
4指数与三角同样有对应公式：e 的 x 次方积分仍是自身；正弦的积分是负余弦，余弦的积分是正弦，正割平方的积分是正切，全部加 C。检查积分答案的标准动作是把结果求导，看能否还原成被积函数；这个动作既可验算，也令人明白积分与求导如何互相锁定。
5线性性质令多项积分变得轻松：常数可以抽出积分号，和与差可以拆开逐项积分，全式只须一个 C。被积函数是复合形式时，用代换积分法：设内层为 u，把 dx 换成 du，化简后积分再回代。课程包括代换法而不包括分部积分法；应用上，由切线斜率与一点坐标还原曲线，是不定积分最典型的用途。
1重点摘要 Summary
不定积分是求导的逆过程：由导数还原原函数，答案须加上积分常数 C；掌握幂、倒数、指数与三角的积分公式，配合线性性质与代换积分法，就能由变率重建曲线，为定积分铺路。
2生字卡 Vocabulary
f(x) 的全部原函数，记作 ∫f(x)dx，结果含积分常数 C。
求导后等于 f(x) 的函数 F(x)，即 F'(x) = f(x)。
任意常数 C，代表一族沿 y 轴平移的原函数曲线。
∫f(x)dx 中被积分的函数 f(x)。
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）；指数加一，再除以新指数。
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx；∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
设被积函数的内层为 u，把 dx 换成 du，化简后积分再回代；课程不包括分部积分法。
课程对不定积分法的定性：它是求导法的逆过程，两者互为还原。
题目给定的函数值（如曲线过某点），用来确定积分常数 C。
以 e 为底的对数，记作 ln x；∫(1/x)dx = ln x + C。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：积分是求导的逆过程已知导数求原函数，就是不断反问：哪个函数求导后等于它？举个例子：导数是 2x 的函数有 x²，因为 (x²)' = 2x；但 (x²+1)' 与 (x²+5)' 同样是 2x，所以答案不止一个，记作 ∫2x dx = x² + C。记法 ∫f(x)dx 读作 f(x) 对 x 的积分，∫ 是拉长的 S，源自「求和」的概念，dx 标明积分变量；课程要求认识这套记法并理解积分与求导的互逆关系。
- 第二步：积分常数 C 的意义任何函数加上常数后导数不变，所以不定积分的答案是一族曲线，形状相同、沿 y 轴上下平移。举个例子：∫x² dx = x³/3 + C，C 取零、一、负一，就得到三条上下平移的抛物线。DSE 每年都惩罚漏写 C 的考生：只要答案是不定积分，加 C 一步都不能省；若题目附带条件，例如曲线过某点或某时刻的量，C 就能被唯一确定，这正是应用题的考法。
- 第三步：幂函数与倒数的积分核心公式：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C，其中 n ≠ −1，口诀是指数加一，再除以新指数。倒数是例外：∫(1/x)dx = ln x + C。举个例子：∫x⁴ dx = x⁵/5 + C；∫√x dx = ∫x^½ dx = x^(32)÷(32) + C = (23)x^(32) + C；∫x^(−2) dx = x^(−1)÷(−1) + C = −1/x + C。根式与分式先化成幂形式，是套用公式前的固定动作，n = −1 的例外要单独记忆。
- 第四步：三角与指数的积分与求导公式一一对应：∫eˣ dx = eˣ + C；∫sin x dx = −cos x + C；∫cos x dx = sin x + C；∫sec²x dx = tan x + C。留意正弦的积分带负号，因为 (−cos x)' = sin x。举个例子：积 cos x 得 sin x 加 C，验证方法是把 sin x 求导，还原得 cos x；把结果求导检查能否还原被积函数，是积分题的标准自我检查，考试前三十秒就能救命。
- 第五步：线性性质常数可以抽出积分号，和差可以拆开：∫kf(x)dx = k∫f(x)dx，∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。举个例子：∫(6x² − 4x + 5) dx = 6×(x³/3) − 4×(x²/2) + 5x + C = 2x³ − 2x² + 5x + C，整条式最后只写一个 C。多项式积分就是逐项套幂公式再合并常数；系数先乘后除的次序要留神，例如六乘 x 的三次方除以三，得二 x 的三次方。
- 第六步：代换积分法被积函数是复合形式时，设内层为 u，把 du 与 dx 互相替换，化简后积分，最后回代。举个例子：∫(2x+1)⁵ dx，设 u = 2x+1，du = 2dx，即 dx = du/2，积分变成 ∫u⁵(du/2) = u⁶/12 + C = (2x+1)⁶/12 + C。步骤固定：设 u、求 du、换元、积分、回代。课程包括代换法，不包括分部积分法；见到括号或根号内有函数，先想代换能否把它变成简单的幂。
- 第七步：应用：由变率重建函数应用题常给出切线斜率（即导数）与一点坐标，要求还原曲线：先积分得含 C 的函数族，再代入条件确定 C。举个例子：曲线斜率为 6x²，且过点 (1, 5)：积分得 y = 2x³ + C；代入 x = 1、y = 5 得 2 + C = 5，即 C = 3，曲线是 y = 2x³ + 3。这类题目把求导、积分、定 C 三个环节串成一条链，答题时积分写 C、代入条件、解出 C、报出唯一曲线，一个都不能少。
5例题示范 Example
例题：已知曲线在每一点的切线斜率为 6x² − 4x + 1，且曲线通过点 (1, 4)，求曲线的方程。
- 设曲线为 y = f(x)，则 f'(x) = 6x² − 4x + 1
- 积分：y = ∫(6x² − 4x + 1) dx = 2x³ − 2x² + x + C
- 代入 (1, 4)：2(1)³ − 2(1)² + 1 + C = 4，即 1 + C = 4，得 C = 3
- 验证：y' = 6x² − 4x + 1，与题目给出的斜率吻合
- 答案：曲线方程为 y = 2x³ − 2x² + x + 3。答题步骤：写出 f'(x)、积分并保留 C、代入已知点解 C、最后以求导验证；漏写 C 或不用条件定 C 都会被扣分。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1为甚么不定积分的答案必须写 +C？
Q2求 ∫(4x³ − 6x) dx。
Q3求 ∫(eˣ + 1/x) dx（x > 0）。
Q4求 ∫(3x+2)⁴ dx。
Q5求 ∫(sin x + sec²x) dx。
8重点回顾 Recap
- 不定积分是求导的逆过程：∫f(x)dx 代表所有满足 F'(x) = f(x) 的原函数。
- 积分常数 C 对应曲线族；有条件就用条件定 C，无条件就保留 C，落笔即写加 C。
- 幂公式指数加一再除以新指数；倒数归 ln x；eˣ、sin、cos、sec² 各有对应公式。
- 线性性质逐项处理、全式一个 C；代换法五步：设 u、求 du、换元、积分、回代。
- 检查积分的标准动作是把答案求导，看能否还原被积函数。