求导法及其应用
进阶导数是瞬时变化率，数值等于切线斜率；牢记幂、三角、指数与对数的求导公式，配合加法、积、商与链式法则，再以二阶导数判别极值与凹性，就能处理切线方程、描绘曲线与变率应用题。
- 导数是瞬时变化率：f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h，几何上是切线斜率。
- 公式表加四法则（加法、积、商、链式）是求导的全部工具；根式与分式先化幂再求导。
- 积法则与商法则有固定结构，先写 u、v 再代入；链式法则切记乘内层导数。
文体小知识：数学概念说明文——由基本原理的极限定义出发，整理求导公式与加法、积、商、链式四条法则，再以二阶导数判别极值与凹性，覆盖切线、极值与变率应用，是 M2 的核心课。
§课文原文 Passage
1上一课的瞬时变化率有个正式名字：导数。把割线斜率中的水平距离让它趋近零，所得极限就是函数在一点的导数，几何上是曲线在该点切线的斜率。记法有三种：y 一撇、f 一撇，以及 dy 除以 dx，三者在课程中并行使用，答题时任选其一，但要全卷一致。
2求导公式表必须滚瓜烂熟：常数的导数是零；x 的 n 次方求导得 n 乘 x 的 n 减一次方，这是幂公式；正弦求导得余弦、余弦求导得负正弦；e 的 x 次方求导仍是自身；自然对数求导得 x 分之一。根式与分式要先化成幂形式再套用公式，例如根号 x 即 x 的二分之一次方。
3公式之外还有四条法则。加法法则最简单：和的导数等于导数的和，系数可抽出。积法则说明两函数乘积的导数不是导数相乘，而是第一个函数的导数乘第二个，加上第一个乘第二个的导数。商法则的分子是分母乘分子的导数减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方，次序不能颠倒。
4复合函数则用链式法则：外层函数对内层求导，再乘内层的导数。举个例子：三 x 加一的五次方求导，等于五倍的三 x 加一的四次方，再乘三，即十五倍的三 x 加一的四次方；漏乘内层导数是最常见的错误。对不能解出 y 的方程，课程还要求隐函数求导法与对数求导法。
5导数的应用有三大主线：切线方程用点斜式；极大极小先解导数为零的驻点，再用二阶导数判别法确认性质，并注意全局与局部极值之分；描绘曲线时要看截距、极值点、拐点与渐近线。变率应用题把速率、成本变化等情境翻译成导数，是 DSE 长题目的常客。
1重点摘要 Summary
导数是瞬时变化率，数值等于切线斜率；牢记幂、三角、指数与对数的求导公式，配合加法、积、商与链式法则，再以二阶导数判别极值与凹性，就能处理切线方程、描绘曲线与变率应用题。
2生字卡 Vocabulary
函数的瞬时变化率，记作 f'(x) 或 dy/dx，数值等于曲线在该点切线的斜率。
由函数求导数的过程；课程中单元二的名称为「求导法」。
用极限 f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 求导数的定义方法。
d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)；乘积的导数不等于导数的乘积。
d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²，分子次序不可颠倒。
dy/dx = (dy/du)(du/dx)；复合函数求导时外层导数乘内层导数。
对含 x 与 y 的方程两边同时求导，遇 y 项乘 dy/dx，再解出 dy/dx。
导数的导数，记作 f''(x) 或 d²y/dx²，用于判别极值性质与凹性。
函数在邻域内的局部极大或极小值；课程要求同时处理全局与局部极值。
曲线向上凹（f'' > 0）或向下凹（f'' < 0）的形态，由二阶导数的正负决定。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：导数的定义与基本原理把割线斜率 [f(x+h)−f(x)]/h 中的 h 趋近零，所得极限就是导数 f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h，这是由基本原理求导。举个例子：f(x) = x² 时，[f(x+h)−f(x)]/h = (2xh+h²)/h = 2x+h，让 h 趋近零得 f'(x) = 2x。课程要求学生能从基本原理求 C、x 的 n 次方、根号 x、正弦、余弦、e 的 x 次方与自然对数的导数；记法 y'、f'(x) 与 dy/dx 三者并行，点值记作 f'(x₀) 或 dy/dx 在 x = x₀ 的值。
- 第二步：基本求导公式公式表必须滚瓜烂熟：(C)' = 0；(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹；(sin x)' = cos x；(cos x)' = −sin x；(tan x)' = sec²x；(eˣ)' = eˣ；(ln x)' = 1/x。举个例子：y = x⁵ 的导数是 5x⁴；y = √x = x^½ 的导数是 (12)x^(−12)，即 1/(2√x)。凡遇根式与分式，先化成幂形式再套公式，这一步能避免大半的计算错误；常数的导数是零，亦要紧记。
- 第三步：加法法则和与差的导数等于导数的和与差，系数可以抽出：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx。多项式逐项处理即可。举个例子：y = 4x³ − 3x² + 5x − 7，逐项求导得 y' = 12x² − 6x + 5，其中常数项 7 求导得零。这条法则令长式子化整为零，是所有计算的第一步；真正的难点在后面的积、商与链式法则，但逐项思维仍然是整理式子的基础。
- 第四步：积法则两函数乘积的导数不是导数相乘，而是 d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)：第一个函数的导数乘第二个，加上第一个乘第二个的导数。举个例子：y = x² eˣ，设 u = x²、v = eˣ，则 y' = eˣ(2x) + x²(eˣ) = eˣ(x² + 2x)。做题时先把 u、v 写清楚再代入公式，可以大幅减少漏项；凡见到两个不同类型的函数相乘，例如多项式乘指数、x 乘对数，就应该想起积法则。
- 第五步：商法则d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²：分子是分母乘分子的导数减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方，次序不能颠倒。举个例子：y = x/(2x+1)，y' = [(2x+1)(1) − x(2)]/(2x+1)² = 1/(2x+1)²。若把分子两项对调，答案是负的，整题报销；习惯先写「分母乘上导数」再写「减分子乘下导数」，最后验算一下分子首项与分母首项是否同类，可以及早发现次序错误。
- 第六步：链式法则复合函数 y = f(g(x)) 的导数是 dy/dx = (dy/du)(du/dx)：外层对内层求导，再乘内层的导数。举个例子：y = (3x+1)⁵，设 u = 3x+1，则 y = u⁵，dy/du = 5u⁴，du/dx = 3，所以 y' = 15(3x+1)⁴。凡根号、对数、三角符号内藏函数，都要记得乘内层导数；漏乘是最常见的错误。举个例子：y = ln(x²+1) 的导数是 2x/(x²+1)，外层得 1/(x²+1)，再乘内层 2x。
- 第七步：隐函数求导与二阶导数对不能写成 y = f(x) 形式的方程，两边同时对 x 求导，遇到 y 项时乘 dy/dx，再解出 dy/dx，这是隐函数求导法，须包括对数求导法。导数再求导得二阶导数，记作 f''(x) 或 d²y/dx²。举个例子：y = x³ 时 y' = 3x²，y'' = 6x。二阶导数判别法：驻点上 f'' > 0 为局部极小、f'' < 0 为局部极大；f'' 的正负同时给出凹性，向上凹或向下凹。课程明言不包括三阶及更高阶的导数。
- 第八步：应用：切线、极值与变率求导法三大应用：其一，切线方程，斜率是 f'(x₀)，过点 (x₀, f(x₀))，用点斜式 y − f(x₀) = f'(x₀)(x − x₀)。其二，极大极小，解 f'(x) = 0 的驻点，用二阶导数或一阶符号变化判别，注意全局与局部极值之分，并检查定义域端点。其三，变率应用题，把文字情境翻成函数再求导。举个例子：y = x² 在 x = 3 的切线是 y = 6x − 9；气球半径对时间的导数就是膨胀速率，这类题目在 DSE 长题目中出现频率极高。
5例题示范 Example
例题：求曲线 f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 3 的极值点，并以二阶导数判别其性质。
- 求导：f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x−1)(x−2)
- 解 f'(x) = 0：驻点在 x = 1 与 x = 2
- 求二阶导数：f''(x) = 12x − 18
- 判别：f''(1) = −6 < 0，曲线向下凹，x = 1 为局部极大；f''(2) = 6 > 0，曲线向上凹，x = 2 为局部极小
- 求坐标：f(1) = 2 − 9 + 12 − 3 = 2；f(2) = 16 − 36 + 24 − 3 = 1
- 答案：极大点为 (1, 2)，极小点为 (2, 1)。答题格式：求导、因式分解解 f'(x) = 0、以 f'' 判别性质、写出坐标，四步齐全才有满分；漏写判别理由是常见失分位。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1导数 f'(a) 的几何意义是甚么？
Q2设 y = x⁶ − 4x³，求 dy/dx。
Q3设 y = x² ln x，求 dy/dx。
Q4设 y = (2x − 5)⁴，求 dy/dx。
Q5求曲线 y = x² − 6x + 5 的极小点。
8重点回顾 Recap
- 导数是瞬时变化率：f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h，几何上是切线斜率。
- 公式表加四法则（加法、积、商、链式）是求导的全部工具；根式与分式先化幂再求导。
- 积法则与商法则有固定结构，先写 u、v 再代入；链式法则切记乘内层导数。
- 极值三步：解 f'(x) = 0 得驻点，用 f'' 判别性质，检查定义域确定全局极值。
- 切线用点斜式 y − f(a) = f'(a)(x − a)；变率应用题先设变数写函数再求导。