求导法及积分法（单元一）
基础单元一的微积分主线：以极限认识导数概念，套用幂、指数、对数公式与四则链式法则，以二阶导数判别极值与凹性，再把积分用作还原函数；留意 M1 不考三角函数求导，却最重视应用题的完整论证。
- M1 微积分四站：极限定义导数、公式与法则求导、应用题、不定积分还原函数。
- M1 公式表没有三角函数求导，但有 log_a x 与 aˣ；与 M2 范围不同，温习时要分清。
- 二阶导数判别法：f'' > 0 局部极小、f'' < 0 局部极大；凹性与极值性质一并交代。
文体小知识：数学概念说明文——整合单元一的微积分主线：导数概念与记法、求导公式与四则链式法则、二阶导数判别与凹性、变率极值应用题与不定积分，并点出 M1 与 M2 的范围分别。
§课文原文 Passage
1单元一的微积分由四站组成：导数概念（透过极限认识）、求导法（公式与法则）、应用（切线、变率、极大极小）、不定积分（求导的逆过程）。与单元二的主要分别在范围：M1 的求导公式只涵盖代数函数、指数函数与对数函数，不包括三角函数的导数，也没有隐函数求导法；但 M1 极重视应用题，长题目往往把求导与积分串成一条链。
2导数由极限定义：割线斜率在水平距离趋近零时的极限。M1 要求认识导数的概念与记法，包括 y 一撇、f 一撇、dy 除以 dx，以及在某点取值的写法，但不须用基本原理作冗长计算。导数的几何意义是切线斜率，物理意义是瞬时变化率，两种解读在应用题中轮流出场。
3M1 的求导公式表：常数的导数是零；x 的 n 次方求导得 n 乘 x 的 n 减一次方；e 的 x 次方求导是自身；自然对数求导得 x 分之一；以 a 为底的对数求导得 x 乘 ln a 分之一；a 的 x 次方求导得本身乘 ln a。留意 e 的 x 次方与自然对数正是 a 等于 e 时的特例，公式之间互相呼应。
4法则与 M2 相同：加法法则逐项处理；积法则、商法则有固定结构；链式法则外层乘内层。二阶导数是导数的导数，配合二阶导数判别法确定驻点性质：二阶导数为正是局部极小，为负是局部极大；其正负亦给出凹性。应用题须同时交代全局与局部极值，别忘记检查定义域端点。
5积分方面，M1 只要求幂公式、倒数公式与指数公式，配合线性性质与代换积分法，不包括分部积分法。最典型的应用是由 f 一撇与初始条件还原 f：积分得曲线族，代入条件定 C。无论求导还是积分，应用题的答题格式——设变数、写函数、定义域、求解、判别、作答——才是分数所在。
1重点摘要 Summary
单元一的微积分主线：以极限认识导数概念，套用幂、指数、对数公式与四则链式法则，以二阶导数判别极值与凹性，再把积分用作还原函数；留意 M1 不考三角函数求导，却最重视应用题的完整论证。
2生字卡 Vocabulary
y'、f'(x) 与 dy/dx 三种等价记法；在某点取值写作 dy/dx 在 x = x₀ 的值。
用极限 lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 认识导数概念；M1 不须以此作冗长计算。
f'(x₀) 即曲线在 x = x₀ 处切线的斜率，是导数的几何意义。
dy/dx = (dy/du)(du/dx)；复合函数求导，外层导数乘内层导数。
驻点处 f'' > 0 为局部极小、f'' < 0 为局部极大。
f'' > 0 曲线向上凹，f'' < 0 曲线向下凹。
整个定义域上的最大最小值，与邻域内的相对极值；应用题须兼顾两者。
导数作瞬时变化率；应用题中的速率、成本变化、膨胀速率等。
求导的逆过程，∫f(x)dx = F(x) + C；M1 只要求基本公式与代换法。
设 u 化简被积函数后积分再回代；M1 不包括分部积分法。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：单元一微积分的地图M1 的微积分由四站组成：导数概念（透过极限认识）、求导法（公式与法则）、应用（切线、变率、极大极小）、不定积分（求导的逆过程）。与 M2 的主要分别：M1 的求导公式只涵盖代数、指数与对数函数，不包括三角函数的导数，也没有隐函数求导法；但 M1 极重视应用题。举个例子：正弦的导数属 M2 范围，M1 试卷不会要求；复习时分清两张课程清单，能避免温习白费。
- 第二步：导数概念与记法导数由极限定义：f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h。M1 要求认识概念与记法 y'、f'(x)、dy/dx，以及在某点取值的写法 dy/dx 在 x = x₀ 的值，但不须用基本原理作冗长计算。举个例子：f(x) = x² 在 x = 3 的导数 f'(3) = 6，就是曲线在 x = 3 处切线的斜率；写成 dy/dx 在 x = 3 处等于 6 亦可。几何与变率两种解读要并存于脑海，应用题会轮流借用。
- 第三步：M1 求导公式表M1 公式：(C)' = 0；(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹；(eˣ)' = eˣ；(ln x)' = 1/x；(log_a x)' = 1/(x ln a)；(aˣ)' = aˣ ln a。留意 e 的 x 次方与自然对数是 a = e 的特例。举个例子：y = 2ˣ 的导数是 2ˣ ln 2；y = log₁₀ x 的导数是 1/(x ln 10)。凡遇常数倍先抽出系数，凡遇根式分式先化幂，这两个习惯令 M1 题目的计算量大幅下降。
- 第四步：四则与链式法则加法法则逐项处理；积法则 d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)；商法则 d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²；链式法则 dy/dx = (dy/du)(du/dx)。举个例子：y = x² eˣ 用积法则得 eˣ(x² + 2x)；y = (ln x)² 用链式法则得 2 ln x ÷ x。M1 题目常把两条法则叠在一起，例如 x 乘 e 的三 x 次方，先辨结构（积法则加链式法则）再动手，次序清晰就不会漏项。
- 第五步：二阶导数、凹性与极值二阶导数 f''(x) 是导数的导数，记作 d²y/dx²。二阶导数判别法：驻点处 f'' > 0 是局部极小、f'' < 0 是局部极大；f'' 的正负号同时给出凹性。应用题须交代全局与局部极值，并检查端点与定义域。举个例子：A(x) = 20x − x² 的 A'' = −2 < 0，驻点 x = 10 是局部极大；因为开口向下只有一个驻点、端点处面积为零，它就是全局最大。判别与检查，正是长题目的主要给分位。
- 第六步：变率应用题的套路应用题固定六步：设变数、写目标函数、写定义域、求导解驻点、判别性质、作答。举个例子：用 40 米篱笆围长方形，设长为 x 米，阔为 20 − x 米（0 < x < 20），面积 A(x) = x(20 − x)；A'(x) = 20 − 2x = 0 得 x = 10，A'' < 0 确认极大，最大面积 100 平方米，此时长方形是正方形。文字题的分数往往落在「有没有写定义域与判别」上，计算反而不是最难的部分。
- 第七步：M1 的不定积分M1 积分公式：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）、∫(1/x)dx = ln x + C、∫eˣ dx = eˣ + C；配合线性性质与代换积分法，不包括分部积分法。应用上常由 f'(x) 与初始条件还原 f(x)。举个例子：f'(x) = 6x² + eˣ 且 f(0) = 4：积分得 f(x) = 2x³ + eˣ + C，代入得 1 + C = 4，即 C = 3，故 f(x) = 2x³ + eˣ + 3。求导与积分在同一题内一往一返，是 M1 长题目的典型结构。
5例题示范 Example
例题：用 40 米的篱笆围一个长方形花圃，求面积的最大值，并证明该值确是最大。
- 设长为 x 米，则阔为 (40 − 2x)÷2 = (20 − x) 米；定义域为 0 < x < 20
- 写出面积函数：A(x) = x(20 − x) = 20x − x²
- 求导：A'(x) = 20 − 2x；解 A'(x) = 0 得 x = 10
- 判别：A''(x) = −2 < 0，曲线向下凹，x = 10 为局部极大；A 在 (0, 20) 内只有一个驻点且端点处 A = 0，故为全局最大
- 计算：A(10) = 10 × 10 = 100
- 答案：最大面积为 100 平方米，此时花圃是 10 米乘 10 米的正方形。答题须包含设变数、写定义域、求导解驻点、判别性质、结论五部分；漏写判别或定义域常被扣分。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1下列哪一个导数不属于 M1 课程范围：(sin x)'、(ln x)'、(2ˣ)'？
Q2设 f(x) = 2eˣ − 3x²，求 f'(x)。
Q3设 y = ln(4x + 1)，求 dy/dx。
Q4某驻点处 f''(a) < 0，可以得出甚么结论？
Q5设 f'(x) = 6x² + eˣ 且 f(0) = 4，求 f(x)。
8重点回顾 Recap
- M1 微积分四站：极限定义导数、公式与法则求导、应用题、不定积分还原函数。
- M1 公式表没有三角函数求导，但有 log_a x 与 aˣ；与 M2 范围不同，温习时要分清。
- 二阶导数判别法：f'' > 0 局部极小、f'' < 0 局部极大；凹性与极值性质一并交代。
- 应用题六步：设变数、写函数、写定义域、求导解驻点、判别、作答。
- 积分必写 C；有初始条件就代入定 C，并以求导验证答案。