平方差公式

1重点摘要 Summary

学一条好重要的乘法公式，(a+b)(a-b) = a² - b²。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：认识平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²，即两数之和乘以两数之差，等于这两数的平方相减。这是一条恒等式，对任何 a、b 都成立，可以放心直接套用。使用前要先认出形式：两个二项式相乘，其中一项完全相同（都是 a），另一项只是正负号相反（+b 与 -b），缺少这个特征就不能套用公式。
2. 第二步：为什么公式成立用乘法展开即可解释：(a+b)(a-b) = a×a - a×b + b×a - b×b = a² - ab + ab - b²。中间的 -ab 与 +ab 互相抵消，余下 a² - b²。亲手展开一次有助记忆公式的来源，也能说明为何中间两项必定消失。理解了这个原理，日后即使忘记公式，也可以随时重新推导出来，不必死记硬背，遇到相关证明题亦能应付自如。
3. 第三步：用公式展开见到 (a+b)(a-b) 的形式，无须逐项相乘，直接套公式即可。例如 (x+3)(x-3) = x² - 3² = x² - 9；本课例题 (x+6)(x-6) = x² - 6² = x² - 36。套用时先确认 a 与 b 各是什么，再分别平方；若某项本身带系数，如 2x，要整体加上括号后才平方，即 (2x)² = 4x²，切勿只平方数字部分而漏掉 x 的平方。
4. 第四步：用公式因式分解公式可以倒转使用：见到 a² - b²，就写成 (a+b)(a-b)，这正是因式分解。例如 x² - 16 = x² - 4² = (x+4)(x-4)，又如 x² - 9 = (x+3)(x-3)。分解前先检查两项是否都是完全平方，并养成先提取公因子的习惯，例如 2x² - 8 = 2(x² - 4) = 2(x+2)(x-2)，先提出公因子往往令式子简单得多，也更容易看出平方差的结构。
5. 第五步：含系数的常见例子含系数的例子：(2x+5)(2x-5) = (2x)² - 5² = 4x² - 25；反向分解 9y² - 25 = (3y)² - 5² = (3y+5)(3y-5)。处理这类题目时，要把 2x 看成整体 a、5 看成整体 b，系数同样要平方，所以 (2x)² = 4x² 而不是 2x²。练习时可由浅入深：先做 x² - 25，再做 4x² - 25，体会「整体思想」的用法。
6. 第六步：使用条件与易错点使用平方差的两个条件：两项都是完全平方，而且是相减。若是相加，例如 x² + 9，就不能用这条公式分解，切记 a² + b² 无法分解为两个一次因式。另外两个易错处：一是把结果写成 a² + b²，减号变了加号；二是忘记平方，例如把 (x+6)(x-6) 写成 x² - 6。温习时把这三种错法各检查一遍，考试前逐一自问，印象会特别深刻。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
• 展开和因式分解都用得
• 一定要两个平方相减
• 中间项会抵消
• a² + b² 用不到