科學記數法

1重點摘要 Summary

學用科學記數法寫好大和好小的數，不用寫一大堆零。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：什麼是科學記數法科學記數法（又稱標準式）把任何數寫成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是整數。它的價值在於處理極大或極小的數：地球與太陽的距離約 150000000 千米，寫成 1.5 × 10⁸ 千米；一粒細菌的直徑約 0.000002 米，寫成 2 × 10⁻⁶ 米。不用科學記數法，這些數字要寫一長串零，既容易數錯位數，也難以比較大小。規則只有兩條：a 必須在 1（包括）與 10（不包括）之間；n 等於小數點移動的位數，向左移為正，向右移為負。
2. 第二步：大數怎樣寫把大數寫成科學記數法分三步。以 300000 為例：第一步，把小數點由數字最右端移到第一個非零數字之後，變成 3.00000；第二步，數出小數點移動的位數——由 300000. 到 3. 共移了 5 位；第三步，寫成 3 × 10⁵。再練一個：光速約 300000000 米/秒，小數點移到 3 之後共 8 位，所以是 3 × 10⁸ 米/秒。留意 a 的選取：其餘非零數字要成為 a 的小數部分，例如 2760000 = 2.76 × 10⁶，而不是 2 × 10⁶——漏掉 76 便是嚴重的近似錯誤。
3. 第三步：小數怎樣寫小於 1 的數同樣處理，只是指數為負。以 0.000045 為例：第一步，把小數點移到第一個非零數字（4）之後，變成 4.5；第二步，數出移動位數——由 0.000045 到 4.5，小數點向右移了 5 位；第三步，向右移代表負指數，所以是 4.5 × 10⁻⁵。再練一個：0.0032 的小數點向右移 3 位得 3.2，所以是 3.2 × 10⁻³。記憶口訣：大數指數正、小數指數負；移動方向與指數符號剛好相反——把數變小（點左移）指數為正，把數變大（點右移）指數為負。
4. 第四步：轉回一般數（正指數）把科學記數法轉回一般數，正指數表示小數點向右移。以 2.5 × 10⁴ 為例：10⁴ = 10000，所以 2.5 × 10000 = 25000；直接理解就是把 2.5 的小數點向右移 4 位，不足位補零。再練兩個：3.06 × 10⁵ = 306000（向右移 5 位）；7 × 10² = 700（a 為整數也可以，只要符合 1 ≤ a < 10）。這個方向常用於天文與地理數據：地球半徑約 6.4 × 10³ 千米，即 6400 千米。轉換後數一數原數的零，確認沒有移多或移少，是簡單有效的自檢方法。
5. 第五步：轉回一般數（負指數）負指數表示小數點向左移。以 3.7 × 10⁻³ 為例：10⁻³ = 11000，所以 3.7 × 11000 = 0.0037；等同把 3.7 的小數點向左移 3 位。再練兩個：4.5 × 10⁻⁵ = 0.000045（向左移 5 位，前面補四個零）；1.2 × 10⁻¹ = 0.12。這類數常見於科學量度：一粒塵埃的質量可能約 7.5 × 10⁻¹⁰ 千克，紅血球的直徑約 8 × 10⁻⁶ 米。書寫時按「0.、補零、a 的數字」的次序寫，就不會數錯零的個數；寫完核對：小數點後、第一個非零數字前的零，應比指數少一個。
6. 第六步：規則與檢驗鞏固兩條核心規則。第一，a 永遠在 1 與 10 之間（包括 1，不包括 10）：1234 的正確寫法是 1.234 × 10³；12.34 × 10² 雖然數值相同，卻不合規格；同樣 0.5 × 10⁴ 也要改寫成 5 × 10³。第二，大數 n 為正、小數 n 為負，n 的絕對值等於小數點移動的位數。自檢方法有二：把答案乘回去，看是否還原原數，例如 1.234 × 10³ = 1234 無誤；另外培養量級感——1.234 × 10³ 應該是「千」的級別，若得出萬或百的級別，表示指數出錯，應立即覆查。
7. 第七步：常見錯誤總結科學記數法有三個高頻錯誤。第一，a 不合規格：把 450 寫成 45 × 10¹ 或 0.45 × 10³，正確是 4.5 × 10²；寫完先檢查 1 ≤ a < 10。第二，指數符號弄反：把 0.0007 寫成 7 × 10⁴（應是 7 × 10⁻⁴），或把 70000 寫成 7 × 10⁻⁴（應是 7 × 10⁴）；對策是記住「數越大指數越大、數越小指數越小」。第三，漏掉 a 的小數部分：把 375000 寫成 3 × 10⁵，等於丟失了 75000，嚴重失真；a 必須保留所有非零數字，375000 = 3.75 × 10⁵。考試前用三五個數字各練一次正向與反向轉換，錯誤率會明顯下降。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 形式：a × 10ⁿ
• a 在 1 至 10 之間
• 大數 n 正數，小數 n 負數
• 移小數點數位數
• 不用寫一大堆零