代入與展開

1重點摘要 Summary

代入 ＝ 把數放回入式度求值；展開 ＝ 用分配律拆走括號。兩樣合起來用，代數先玩得轉。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 代入：一個變數代入就是把變數換成具體的數值，再按四則運算次序計算。例子：3x + 2 當 x = 4 時，把 x 換成 4，得到 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14。步驟只有兩步：先換、後計。注意 3(4) 表示 3 乘 4，中間的乘號通常省略。常見錯誤是把 3x + 2 當成 34 + 2 那樣把數字黏在一起；正確理解是 3 乘以 x 之後再加 2。寫清楚每一步，代入題便不容易失分。
2. 2. 代入：兩個變數兩個變數的代入方法一樣，只是各換各的。例子：2x + 3y 當 x = 1、y = 2 時，把 x 換成 1、y 換成 2，得到 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8。要點是每個變數只換成自己的數值，不可以調換。常見錯誤是把 2x 當成 21（x = 1 時）、把 3y 當成 32（y = 2 時）；正確理解永遠是「係數乘以變數的值」。建議換入的時候加上括號，例如 2(1) + 3(2)，數值是負數時尤其重要。
3. 3. 展開：單一括號展開用分配律，把括號外的數乘進括號內每一項。例子：3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6。要點是括號外的數要乘「每一項」，不只是第一項。生活化理解：每份禮物 3 元，買 x 份再加 2 份，總共便是 3x + 6 元。常見錯誤是只乘第一項，把 3(x + 2) 寫成 3x + 2；檢查方法是展開後項數應該與括號內相同，括號內兩項，展開後也是兩項。
4. 4. 展開：有負數括號外是負數時，符號要跟著每一項走。例子：−2(x − 3) = (−2) × x + (−2) × (−3) = −2x + 6。注意 −2 乘 −3 得 +6，負負得正。常見錯誤有兩個：一是把 −2(x − 3) 寫成 −2x − 6，忘記負乘負得正；二是只把第一項乘 −2，第二項沒有乘。檢查方法：代入一個數驗證，例如 x = 1 時，原式 −2(1 − 3) = −2 × (−2) = 4，展開式 −2(1) + 6 = 4，兩者相同便正確。
5. 5. 展開後化簡兩組括號的題目，先各自展開，再合併同類項。例子：3(x + 2) + 2(x − 1) = 3x + 6 + 2x − 2。合併時 x 項歸 x 項：3x + 2x = 5x；常數歸常數：6 + (−2) = 4。所以答案是 5x + 4。常見錯誤是把 2(x − 1) 展開成 2x − 1，漏乘第二項；以及把 6 + (−2) 的符號弄錯。建議展開後先抄一次完整的式子，逐項圈出 x 項和常數項，再分別合併，條理便清楚。
6. 6. 先化簡再代入求值題有兩條路。例子：3(x + 2) 當 x = 1。方法一直接代入：3(1 + 2) = 3(3) = 9。方法二先展開再代入：3x + 6 = 3(1) + 6 = 9。兩個方法答案相同，因為展開前後式子等價。式子複雜時，先化簡再代入通常更快更穩，因為乘的次數減少了。常見錯誤是代入時忘記先算括號內的 1 + 2；記住先算括號，是四則運算的第一規則。
7. 7. 應用幾何應用：長方形的長是 (x + 2) 厘米，闊是 x 厘米，周界是多少？周界 = 2 × (長 + 闊) = 2[(x + 2) + x] = 2(2x + 2) = 4x + 4 厘米。若 x = 5，周界 = 4(5) + 4 = 24 厘米，此時長 7 厘米、闊 5 厘米，用 2(7 + 5) = 24 驗證正確。常見錯誤是只把長和闊相加一次便當成答案，忘記周界要乘 2；記住周界是四條邊的總和。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 代入：用數字代替變數
• 分配律：a(b+c) = ab + ac
• 有負數：注意符號
• 展開後合併同類項
• 先化簡再代入有時更快