代入与展开

1重点摘要 Summary

代入 ＝ 把数放回入式度求值；展开 ＝ 用分配律拆走括号。两样合起来用，代数先玩得转。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 1. 代入：一个变数代入就是把变数换成具体的数值，再按四则运算次序计算。例子：3x + 2 当 x = 4 时，把 x 换成 4，得到 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14。步骤只有两步：先换、后计。注意 3(4) 表示 3 乘 4，中间的乘号通常省略。常见错误是把 3x + 2 当成 34 + 2 那样把数字黏在一起；正确理解是 3 乘以 x 之后再加 2。写清楚每一步，代入题便不容易失分。
2. 2. 代入：两个变数两个变数的代入方法一样，只是各换各的。例子：2x + 3y 当 x = 1、y = 2 时，把 x 换成 1、y 换成 2，得到 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8。要点是每个变数只换成自己的数值，不可以调换。常见错误是把 2x 当成 21（x = 1 时）、把 3y 当成 32（y = 2 时）；正确理解永远是「系数乘以变数的值」。建议换入的时候加上括号，例如 2(1) + 3(2)，数值是负数时尤其重要。
3. 3. 展开：单一括号展开用分配律，把括号外的数乘进括号内每一项。例子：3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6。要点是括号外的数要乘「每一项」，不只是第一项。生活化理解：每份礼物 3 元，买 x 份再加 2 份，总共便是 3x + 6 元。常见错误是只乘第一项，把 3(x + 2) 写成 3x + 2；检查方法是展开后项数应该与括号内相同，括号内两项，展开后也是两项。
4. 4. 展开：有负数括号外是负数时，符号要跟著每一项走。例子：−2(x − 3) = (−2) × x + (−2) × (−3) = −2x + 6。注意 −2 乘 −3 得 +6，负负得正。常见错误有两个：一是把 −2(x − 3) 写成 −2x − 6，忘记负乘负得正；二是只把第一项乘 −2，第二项没有乘。检查方法：代入一个数验证，例如 x = 1 时，原式 −2(1 − 3) = −2 × (−2) = 4，展开式 −2(1) + 6 = 4，两者相同便正确。
5. 5. 展开后化简两组括号的题目，先各自展开，再合并同类项。例子：3(x + 2) + 2(x − 1) = 3x + 6 + 2x − 2。合并时 x 项归 x 项：3x + 2x = 5x；常数归常数：6 + (−2) = 4。所以答案是 5x + 4。常见错误是把 2(x − 1) 展开成 2x − 1，漏乘第二项；以及把 6 + (−2) 的符号弄错。建议展开后先抄一次完整的式子，逐项圈出 x 项和常数项，再分别合并，条理便清楚。
6. 6. 先化简再代入求值题有两条路。例子：3(x + 2) 当 x = 1。方法一直接代入：3(1 + 2) = 3(3) = 9。方法二先展开再代入：3x + 6 = 3(1) + 6 = 9。两个方法答案相同，因为展开前后式子等价。式子复杂时，先化简再代入通常更快更稳，因为乘的次数减少了。常见错误是代入时忘记先算括号内的 1 + 2；记住先算括号，是四则运算的第一规则。
7. 7. 应用几何应用：长方形的长是 (x + 2) 厘米，阔是 x 厘米，周界是多少？周界 = 2 × (长 + 阔) = 2[(x + 2) + x] = 2(2x + 2) = 4x + 4 厘米。若 x = 5，周界 = 4(5) + 4 = 24 厘米，此时长 7 厘米、阔 5 厘米，用 2(7 + 5) = 24 验证正确。常见错误是只把长和阔相加一次便当成答案，忘记周界要乘 2；记住周界是四条边的总和。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 代入：用数字代替变数
• 分配律：a(b+c) = ab + ac
• 有负数：注意符号
• 展开后合并同类项
• 先化简再代入有时更快