三角形的性質

1重點摘要 Summary

任何三角形三隻內角加起來一定是 180°；等腰兩底角相等、等邊每隻 60°、外角等於兩隻內對角之和。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 三角形是什麼？三角形是由三條邊圍成的多邊形，有三條邊、三個頂點和三個角，是邊數最少的多邊形。相鄰兩條邊的交點就是頂點，每個頂點處形成一個內角。生活之中隨處可以見到三角形：三角尺、屋頂支架、交通警告標誌都是。因為三條邊互相支撐、結構穩固，三角形常用來加固建築框架；它也是學習幾何的第一步，以後的多邊形都可以切割成三角形來研究。
2. 2. 內角和三角形三個內角加起來永遠等於 180°，這是三角形最重要的性質。以等邊三角形為例：三個角完全相等，每個角就是 180° ÷ 3 = 60°；驗算：60° + 60° + 60° = 180°，正確。無論三角形的形狀怎樣改變，是瘦長還是扁闊，只要仍是三角形，內角和都不會改變。這條規律是求角度的關鍵工具，下面各種三角形求角時都要配合它使用。
3. 3. 等邊三角形等邊三角形三條邊全部一樣長，例如每條邊 5 cm。三條邊相等時，三個角也必然相等，每個角都是 180° ÷ 3 = 60°，所以見到等邊三角形，不必任何量度就能寫出三個角全是 60°。反過來說，若一個三角形三個角都是 60°，它也必定是等邊三角形。「邊相等則角相等」這個對應關係，是分辨各類三角形的重要依據，畫圖時可以用角來檢驗邊畫得對不對。
4. 4. 等腰三角形等腰三角形有兩條邊一樣長，這兩條相等的邊稱為腰，例如兩腰各 5 cm；第三條邊稱為底邊，例如 6 cm。等腰三角形的關鍵性質是兩個底角相等——相等的邊所對的角必定一樣大，即「等邊對等角」。應用時常與內角和配合：知道頂角就能求出兩個底角，知道底角也能求出頂角，具體的計算過程會在下面的例題部分詳細示範。
5. 5. 直角三角形直角三角形有一個角剛好是 90°，直角所對的最長邊稱為斜邊。由於內角和是 180°，另外兩個銳角相加必定等於 180° − 90° = 90°。例如一個直角三角形的兩個銳角分別是 30° 和 60°：30° + 60° = 90°，加上直角正好 180°。這個「兩銳角相加等於 90°」的關係非常實用：只要知道其中一個銳角，用 90° 減去它就得到另一個，不必動用 180°。
6. 6. 不等邊三角形不等邊三角形三條邊的長度各不相同，例如 3 cm、4 cm、5 cm；三條邊互不相等時，三個角的大小也各不相同。判斷方法：量度三條邊，只要沒有任何兩條相等，它就是不等邊三角形。順帶一提，3、4、5 這組邊長藏著一個特別事實：3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，所以它其實是一個直角三角形，這條規律到高中數學會正式學習，現在先記住這個例子。
7. 7. 求未知角求未知角先寫出內角和等式。例如三個角是 50°、60° 和未知角：50° + 60° + 未知角 = 180°；已知兩角相加得 110°，再計算 180° − 110° = 70°，所以第三個角是 70°。驗算：50° + 60° + 70° = 180°，正確。若是等腰三角形，再加上「兩底角相等」條件：頂角 40° 時，每個底角 = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 三角形：三條邊、三個角
• 內角和 = 180°
• 等邊：三邊一樣，三角一樣（每個 60°）
• 等腰：兩邊一樣，兩底角一樣
• 直角：有一個 90°