第9課《地圖比例尺》
基礎地圖比例尺是圖上距離和實際距離的比。例如 1:50000 即是圖上 1 cm = 實際 50000 cm = 500 m。學會用比例尺計算實際距離和圖上距離。
學完呢課，你會識：
- 比例尺 = 圖上距離 : 實際距離
- 實際距離 = 圖上距離 × 比例尺分母
- 圖上距離 = 實際距離 ÷ 比例尺分母
文體小知識：地圖比例尺：讀圖、計算實際距離、計算圖上距離
讀呢課前，你應該識： 第7課《比例與應用》
§課文原文 Passage
1比例尺的意思：圖上距離同實際距離的比。通常寫做 1:xxxxxx。例如 1:100000 即是圖上 1 cm 代表實際 100000 cm。
2單位轉換：100000 cm = 1000 m = 1 km。所以 1:100000 即是圖上 1 cm = 實際 1 km。這個是最常見的比例尺。
3兩種問題：(1) 知道圖上距離，計實際距離；(2) 知道實際距離，計圖上距離。都是用比例來計。
1重點摘要 Summary
地圖比例尺是圖上距離和實際距離的比。例如 1:50000 即是圖上 1 cm = 實際 50000 cm = 500 m。學會用比例尺計算實際距離和圖上距離。
2生字卡 Vocabulary
m
map scale名詞
地圖比例尺
m
map distance名詞
圖上距離
r
real distance名詞
實際距離
s
scale denominator名詞
比例尺分母，例如 1:50000 的 50000
k
kilometre名詞
公里，1 km = 1000 m
c
centimetre名詞
厘米，1 m = 100 cm
l
linear scale名詞
線段比例尺
r
ratio scale名詞
數字比例尺，例如 1:50000
3逐步講解 Steps
- 第1段：讀比例尺比例尺 1:50000 表示圖上距離與實際距離的比：圖上 1 cm 代表實際 50000 cm，即 500 m。同樣，1:100000 表示圖上 1 cm 代表實際 100000 cm，即 1 km。為什麼要用比來表示？因為地圖必須把廣大地區縮小畫在紙上，比例尺統一說明縮小的倍數，全張地圖每一處都按同一倍數縮小，量出來的距離才準確。換算的基礎是 1 km = 1000 m = 100000 cm，要記到滾瓜爛熟。常見錯法：把 1:50000 讀成「圖上 1 cm 等於實際 5 km」，其實 50000 cm 只是 0.5 km；讀完比例尺先做一次單位換算，弄清楚圖上 1 cm 到底代表實際多少。
- 第2段：計實際距離已知圖上距離求實際距離，用圖上距離乘比例尺的分母：圖上距離 × 分母 = 實際距離。例如比例尺 1:200000，圖上 3 cm，實際 = 3 × 200000 = 600000 cm，再化成 6000 m，即 6 km。為什麼用乘法？因為圖上 1 cm 代表實際 200000 cm，圖上 3 cm 就是 3 個 200000 cm，求幾倍用乘法。計算次序建議先乘後換算單位，中間步驟照寫出來，方便檢查。再例如比例尺 1:50000，圖上 8 cm，實際 = 8 × 50000 = 400000 cm = 4 km。常見錯法：忘記換算單位，把 600000 cm 直接當成 6 km 寫出來，差了十萬倍；cm 化 km 要除以 100000，一步一步寫清楚。
- 第3段：計圖上距離已知實際距離求圖上距離，用實際距離除以比例尺的分母：實際距離 ÷ 分母 = 圖上距離。例如實際 10 km，比例尺 1:50000：先把 10 km 化成 1000000 cm，再算 1000000 ÷ 50000 = 20 cm，圖上應畫 20 cm。為什麼先化單位？因為比例尺的兩邊都以 cm 為單位，實際距離必須先化成 cm，除出來的結果才是圖上的 cm 數。乘與除互為逆運算，正算與反算可以互相檢查：20 × 50000 = 1000000 cm = 10 km，與題目相符。常見錯法：不化單位直接用 10 ÷ 50000，得出極小的數；或者化錯方向，把 10 km 當成 10000 cm，km 化 cm 應該乘 100000 而不是乘 10000。
- 第4段：單位轉換技巧單位換算是比例尺題目最容易出錯的地方，必須把 1 km = 1000 m、1 m = 100 cm、1 km = 100000 cm 三條關係記牢。為什麼 km 與 cm 相差十萬倍？因為千米化米要乘一千，米化厘米再乘一百，一千乘一百等於十萬。解題時先看題目給的單位：題目說 km，要化成 cm 才能除以分母；答案要求 km，就要把 cm 結果除以 100000。例如 3 km = 3000 m = 300000 cm；250000 cm = 2.5 km。常見錯法：km 化 cm 只乘一千，漏掉第二次乘一百；每一步換算都寫出中間結果，例如先寫 3 km = 3000 m，再寫 3000 m = 300000 cm，一步一步來就不會亂。
- 第5段：線段比例尺有些地圖不寫數字比例尺，而是畫一條線段，標示「0、1 km、2 km」，這叫線段比例尺：圖上一段固定的長度代表實際 1 km。為什麼地圖愛用線段比例尺？因為地圖影印放大縮小之後，數字比例尺會失效，線段比例尺跟著圖面同時縮放，仍然準確。使用方法：用尺量出線段中「0 到 1 km」一段的圖上長度，例如量得 2 cm，就可知圖上 2 cm 代表實際 1 km，從而推出數字比例尺是 1:50000，因為 1 km = 100000 cm，100000 ÷ 2 = 50000。常見錯法：量錯起點，由尺的邊緣而不是 0 刻度量起；量度之前先把尺的 0 刻度對準線段的起點。
- 第6段：應用題綜合應用題的解題步驟：先確認比例尺，再把圖上距離乘分母得出實際 cm，最後換算成題目要求的單位。例如兩個地方在地圖上相距 4 cm，比例尺 1:250000，實際距離 = 4 × 250000 = 1000000 cm = 10 km。為什麼要按固定步驟？因為應用題數字較大，步驟混亂容易在中途出錯，一步一步寫清楚，檢查時也容易找到問題。再例如比例尺 1:50000 的地圖上兩鎮相距 12 cm，實際 = 12 × 50000 = 600000 cm = 6 km。常見錯法：答完 cm 就收工，題目問 km 卻沒有換算；看清楚題目最後問什麼單位，答案的最後一步永遠是換算到要求的單位。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
比例尺計算示範：由圖上距離與實際距離求比例尺，再反向求實際距離。
- 第一步：讀題抄資料——地圖上兩個車站相距 5 cm，實際相距 2 km。題目要求比例尺，先寫出「圖上距離比實際距離」這個比的基本形式：5 cm : 2 km。
- 第二步：統一單位——比例尺兩邊必須用同一單位。2 km ＝ 2000 m ＝ 200000 cm，所以比變成 5 : 200000；兩邊同時除以 5，化簡得 1 : 40000。化簡到「1 比多少」是比例尺的標準寫法。
- 第三步：反向應用——如果地圖上另一段鐵路長 8 cm，實際距離 ＝ 8 × 40000 ＝ 320000 cm。把厘米換回公里：320000 cm ＝ 3.2 km。記住乘了比例尺之後，要把結果換成合適的單位作答。
- 第四步：驗算——用實際距離還原圖上距離：3.2 km ÷ 40000 ＝ 0.00008 km ＝ 8 cm，與題目給出的圖上距離一致，證明計算無誤。
- 第五步：作答——答句必須寫清楚兩項結論：「比例尺為 1:40000」及「該段鐵路實際距離 3.2 km」，單位不可省略，因為沒有單位的距離是沒有意義的。
- 答案：完整解答：比例尺 ＝ 圖上距離 : 實際距離 ＝ 5 cm : 2 km ＝ 5 : 200000 ＝ 1 : 40000。另一段鐵路圖上長 8 cm，實際距離 ＝ 8 × 40000 ＝ 320000 cm ＝ 3.2 km。驗算：3.2 km ÷ 40000 ＝ 8 cm ✓。答：這幅地圖的比例尺是 1:40000；該段鐵路的實際距離是 3.2 km。
6常見錯誤 Mistakes
✗ 不轉換單位就直接相乘
✓ km 要先轉成 cm
✗ 圖上距離和實際距離分不清
✓ 圖上是較小的數，實際是較大的數
✗ 1 km = 1000 cm
✓ 1 km = 100000 cm（不要少了兩個零）
✗ 計圖上距離用乘
✓ 圖上距離 = 實際距離 ÷ 比例尺分母
75 題快測 Quick check
Q1比例尺 1:100000，圖上 1 cm = 實際多少 km？
答案 Answer：1 km
你答對嗎？
Q2比例尺 1:50000，圖上 6 cm = 實際多少 km？
答案 Answer：3 km
你答對嗎？
Q3實際距離 8 km，比例尺 1:200000，圖上距離是多少 cm？
答案 Answer：4 cm
你答對嗎？
Q41 km = ? cm
答案 Answer：100000
你答對嗎？
Q5比例尺 1:250000，圖上 8 cm = 實際多少 km？
答案 Answer：20 km
你答對嗎？
8重點回顧 Recap
- 比例尺 = 圖上距離 : 實際距離
- 實際距離 = 圖上距離 × 比例尺分母
- 圖上距離 = 實際距離 ÷ 比例尺分母
- 1 km = 1000 m = 100000 cm
- 計之前一定要統一單位