積分應用與估計（單元一）
進階單元一的積分重應用：以基本公式與代換積分法計算定積分，求曲線與 x 軸之間的面積；原函數難求時，用梯形法則以等距數據估計積分值，並以二階導數的凹性判斷估計過高抑或過低。
- M1 工具箱：基本公式（k、xⁿ、1/x、eˣ）加線性性質與代換法；不包括分部積分法與三角代換法。
- 定積分用微積分基本定理：F(b) − F(a)；性質包括換限變號、拆區間、常數與和差逐項處理。
- 面積題先找交點分段，軸下方取絕對值；M1 不要求曲線與 y 軸之間或兩曲線之間的面積。
文體小知識：數學概念說明文——講解單元一的定積分應用與梯形法則數值估計，並以二階導數的凹性判斷估計值過高抑或過低，突出 M1 重應用的課程本色。
§課文原文 Passage
1單元一的積分重視應用。與單元二相比，M1 的工具箱較精簡：基本公式覆蓋常數、冪、倒數與指數函數，配合線性性質與代換積分法；課程明確不包括分部積分法，也沒有三角代換。工具少不等於容易，M1 的分數在於把積分用得準：定積分、面積與數值估計才是主戰場，答題的論證格式尤為重要。
2定積分由曲線下矩形條面積和的極限定義，計算靠微積分基本定理：先找原函數，上限代入減去下限代入。定積分與不定積分最大的分別是答案為一個數，不再含積分常數；上下限互換會變號，區間可以拆開合併，常數與和差都能逐項處理。代換積分法用於定積分時，可把上下限一併換成新變量的對應值。
3面積應用的標準問法是曲線與 x 軸之間的面積：先解方程找曲線與軸的交點，把區間分段；函數值為負的部分，積分結果為負，取絕對值後才相加。舉個例子：y = x² − 4 在負二到二之間位於 x 軸下方，這一段要獨立處理。留意課程邊界：M1 不須求曲線與 y 軸之間的面積，也不須求兩條曲線之間的面積。
4許多實際數據沒有解析式，原函數找不到，定積分便用梯形法則估計：把區間分成等寬的小段，每段用梯形面積近似曲線下的面積，公式是組距的一半乘以首尾值加兩倍中間值之和。分段越細，估計越準。實驗數據只有表列函數值時，同樣把表值代入這條公式，積分照樣可估。
5估計是過高抑或過低，用二階導數的凹性判斷：二階導數為正，圖像開口向上，梯形頂連成的弦在曲線上方，估計過高；二階導數為負則估計過低。這一步是 M1 梯形法則題的必答位：先求二階導數定凹向，再下結論，論證才算完整；只寫答案不講理據，會失去判斷部分的分數。
1重點摘要 Summary
單元一的積分重應用：以基本公式與代換積分法計算定積分，求曲線與 x 軸之間的面積；原函數難求時，用梯形法則以等距數據估計積分值，並以二階導數的凹性判斷估計過高抑或過低。
2生字卡 Vocabulary
把區間等分後以梯形面積近似定積分的數值方法，T = (h2)[首+尾+2×中間和]。
把積分區間等分後所得的每個小區間，數目越多估計越準。
相鄰分點之間的距離 h = (b−a)/n，梯形法則公式中的 h。
估計值大於真值；開口向上（二階導數為正）的曲線用梯形法則所得。
估計值小於真值；開口向下（二階導數為負）的曲線用梯形法則所得。
圖像的彎曲方向，由二階導數的正負決定，用於判斷梯形估計過高或過低。
定積分等於原函數在上限與下限取值之差，是定積分計算的核心。
設新變量 u 化簡複合形式的積分；用於定積分時可連上下限一併更換。
由曲線下矩形條面積和的極限定義，結果為一個數。
定積分中可任意換名的變量，例如 x 可換成 t 而積分值不變。
3逐步講解 Steps
- 第一步：M1 的積分工具箱與課程邊界單元一的不定積分公式表：常數 k 的積分是 kx + C；x 的 n 次方積分是 x 的 n 加一次方除以 n 加一；x 分之一積分是 ln x + C；e 的 x 次方積分是自身。配合線性性質與代換積分法。課程邊界要記清：M1 不包括分部積分法，也沒有三角代換法，見到 x 乘 eˣ 這類題型毋須強解。舉個例子：三 x 平方的積分，係數抽出、冪公式套用，得 x 的三次方加 C。把工具箱背熟，再把力氣花在應用。
- 第二步：代換積分法（M1 口徑）代換積分法處理複合形式：設內層函數為 u，求出 du，把原式全部化成 u 的式子，積分後回代。舉個例子：∫2x/(x²+1) dx 設 u = x²+1、du = 2x dx，積分變成 ∫du/u = ln(x²+1) + C。定積分用代換時，上下限一併由 x 值換成 u 值，便不須回代。判斷能否代換的口訣：被積函數裏剛好有一塊是另一塊的導數乘以常數，例如分子恰是分母的導數。M1 的代換題以多項式與指數複合為主，不會出現三角代換。
- 第三步：微積分基本定理與定積分性質定積分的定義是曲線下矩形條面積和的極限，計算靠微積分基本定理：∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F 的導數是 f。性質包括上下限互換變號、上下限相同為零、區間拆分、常數與和差逐項處理。舉個例子：e 的 x 次方由零積到一得 e − 1；x 的平方由一積到三得 (27−1)/3 = 263。定積分答案是數，不須寫 C；啞變量概念說明把 x 換成 t 不影響積分值，這也是課程明確要求的認知。
- 第四步：面積應用與符號處理M1 的面積題標準問法是曲線與 x 軸之間的面積：先解 f(x) = 0 找交點分段；函數在軸下方的區段積分為負，面積取其絕對值後才相加。舉個例子：y = x² − 4 由 −3 到 3 與 x 軸之間的面積，曲線在 −2 到 2 之間位於軸下方，須把該段的定積分取絕對值，再加上兩側的正積分。課程邊界同時要記住：M1 不須求曲線與 y 軸之間的面積，也不須求兩條曲線之間的面積，溫習時不要做多，時間留給應用題。
- 第五步：定積分解應用題M1 的應用題重視論證格式。常見情境有二：由變率還原總量，例如已知邊際成本求成本函數，積分後用初始條件定常數；由速率求總量，例如已知流量求一段時間的累積量，直接用定積分。答題五步：設變數、寫函數與定義域、積分、代入條件、文字作答。舉個例子：邊際成本是六 x 加二，產量由零到十的成本增量就是定積分，得三百二十；漏寫定義域或結論句是最常見的失分位。
- 第六步：梯形法則原函數找不到或只有表列數據時，用梯形法則估計定積分：把 [a, b] 分成 n 等份，組距 h = (b−a)/n，每段以梯形面積近似曲線下面積，公式 T = (h2)[首值 + 尾值 + 2×(中間各值之和)]。舉個例子：以兩個等份估計 ∫₀² x² dx，h = 1，y 值依次是零、一、四，T = (12)(0 + 4 + 2×1) = 3，比精確值 83 ≈ 2.67 略大。分段越細越準；數據表題直接把表值代入同一條公式，中間值記得乘二。
- 第七步：過高抑或過低：凹性判斷梯形法則的估計是過高還是過低，課程要求用二階導數與凹性判斷：f''(x) > 0 時圖像開口向上，每段梯形的弦在曲線上方，估計過高；f''(x) < 0 時弦在曲線下方，估計過低。舉個例子：f(x) = e⁻ˣ 的二階導數仍是 e⁻ˣ > 0，開口向上，梯形法則估計 ∫₀¹ e⁻ˣ dx 必然過高；對照精確值 1 − e⁻¹ ≈ 0.632 與估計值 0.635，的確如此。答題次序固定：先求二階導數、再講凹向、後下結論，三步缺一都被扣分。
5例題示範 Example
例題：用梯形法則，以四個等距子區間估計 ∫₀¹ e⁻ˣ dx，並判斷估計是過高抑或過低。
- 組距 h = (1−0)/4 = 0.25；列值表：f(0) = 1，f(0.25) ≈ 0.7788，f(0.5) ≈ 0.6065，f(0.75) ≈ 0.4724，f(1) ≈ 0.3679
- 套用公式：T = (0.252)[1 + 0.3679 + 2(0.7788 + 0.6065 + 0.4724)] = 0.125 × (1.3679 + 3.7154) = 0.635（三位小數）
- 判斷凹性：f'(x) = −e⁻ˣ，f''(x) = e⁻ˣ > 0，圖像在 [0, 1] 開口向上
- 結論：開口向上時各梯形的弦在曲線上方，估計過高；對照精確值 ∫₀¹ e⁻ˣ dx = 1 − e⁻¹ ≈ 0.632，估計值 0.635 確實略大
- 答案：估計值為 0.635，屬過高估計。評分位：列值表與公式代入、三位小數的正確捨入、二階導數與凹向、過高過低的結論及理據；只寫結論而不寫凹性論證，會失去判斷部分的分數。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1M1 的積分工具箱與 M2 相比缺了甚麼？
Q2求 ∫ (2x+1)³ dx。
Q3求 ∫₀¹ eˣ dx。
Q4以兩個等份用梯形法則估計 ∫₀² x² dx，並說明估計過高抑或過低。
Q5為何 f'' > 0 時梯形法則給出過高估計？
8重點回顧 Recap
- M1 工具箱：基本公式（k、xⁿ、1/x、eˣ）加線性性質與代換法；不包括分部積分法與三角代換法。
- 定積分用微積分基本定理：F(b) − F(a)；性質包括換限變號、拆區間、常數與和差逐項處理。
- 面積題先找交點分段，軸下方取絕對值；M1 不要求曲線與 y 軸之間或兩曲線之間的面積。
- 梯形法則：T = (h2)[首 + 尾 + 2×(中間和)]；表列數據直接代入，中間值乘二。
- 用二階導數判過高過低：f'' > 0 開口向上估計過高，f'' < 0 過低；論證三步：求導、講凹向、下結論。