矩陣及線性方程組
進階矩陣把線性方程組的係數整理成表格：掌握加法、純量乘法、乘法與行列式，用逆矩陣、克萊瑪法則或高斯消去法解二元及三元方程組，並以行列式是否為零判斷解的存在。
- 矩陣乘法逐列乘行、不可交換；AB 有意義要求左矩陣的行數等於右矩陣的列數。
- 行列式判可逆：det A = 0 為奇異不可逆；二階逆矩陣口訣：主對角互換、副對角變號、除以行列式。
- 逆矩陣性質須熟：(A⁻¹)⁻¹ = A、(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹、(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ；求逆前先驗行列式。
文體小知識：數學概念說明文——由矩陣運算與行列式走到逆矩陣，再以逆矩陣法、克萊瑪法則與高斯消去法解線性方程組，並用奇異矩陣討論解的存在性。
§課文原文 Passage
1線性方程組傳統靠消元求解，變數一多便容易混亂。矩陣把係數排成長方形表格，行列式與逆矩陣則提供一整套有系統的解法。單元二要求掌握矩陣的加法、純量乘法與乘法，二階及三階行列式，逆矩陣的運算與性質，以及解二元和三元線性方程組的三種方法，這些正是本課的地圖。
2矩陣乘法是重點也是陷阱：只有左矩陣的行數等於右矩陣的列數才可相乘，逐列乘行再相加；一般而言 AB 不等於 BA，次序不可調換。乘法滿足結合律與分配律，單位矩陣 I 乘任何矩陣都不變其值；轉置把行列互換，這些性質共同支撐後面的解方程組方法。
3行列式把方陣壓縮成一個數，記作 |A| 或 det A。二階行列式是主對角線乘積減副對角線乘積；三階按第一行展開，正負號交替，逐項乘餘因子。行列式等於零的方陣稱為奇異矩陣，不可逆；不為零則逆矩陣存在且唯一。二階逆矩陣有口訣：主對角互換、副對角變號、再除以行列式。
4解線性方程組有三招。逆矩陣法把方程組寫成 AX = B，兩邊左乘 A 的逆矩陣即得 X；克萊瑪法則用行列式之比逐個求未知數；高斯消去法對增廣矩陣做行變換，化成簡化梯形後直接讀出答案。三招各有長短：逆矩陣法適合同一係數矩陣配多個常數項，高斯消去法最通用，克萊瑪法則便於筆算二元組。
5奇異矩陣正是解的判斷器：行列式為零時，方程組要麼無解、要麼有無限多解。齊次線性方程組必有全零解，稱為平凡解；課程定理指出，它有非平凡解當且僅當係數矩陣為奇異矩陣。舉個例子：兩條過原點的直線重疊時，線上每點都是非平凡解，對應係數矩陣的行列式為零。
1重點摘要 Summary
矩陣把線性方程組的係數整理成表格：掌握加法、純量乘法、乘法與行列式，用逆矩陣、克萊瑪法則或高斯消去法解二元及三元方程組，並以行列式是否為零判斷解的存在。
2生字卡 Vocabulary
把數排成列與行的長方形陣列，可整體進行加減與乘法運算。
列數等於行數的矩陣，只有方陣才有行列式與逆矩陣。
主對角線為一、其餘為零的方陣 I，在矩陣乘法中扮演「一」的角色。
把方陣對應到一個數的值，記作 |A| 或 det A；為零時方陣奇異。
行列式為零的方陣，沒有逆矩陣；對應方程組無解或無限多解。
滿足 AB = BA = I 的矩陣 B，記作 A⁻¹；存在則唯一，A 須非奇異。
用係數行列式與替換列後的行列式之比解線性方程組的法則。
對增廣矩陣做行變換化成簡化梯形，直接讀出方程組的解。
常數項全為零的方程組 AX = 0，必有全零的平凡解。
齊次方程組中不全為零的解，存在當且僅當係數矩陣為奇異矩陣。
3逐步講解 Steps
- 第一步：矩陣的概念與基本運算矩陣是把數排成 m 列 n 行的長方形表格，稱為 m 乘 n 矩陣；列數等於行數的叫方陣。兩矩陣相等須階數相同且對應元全部相等；加減法須同階，逐元進行；純量乘法把每個元乘以該純量。舉個例子：一間連鎖店有兩種貨、三間分店，存貨表就是二乘三矩陣，合併兩張存貨表把兩矩陣逐元相加，全部貨品加價一成就把矩陣乘以一點一。運算規則簡單，但階數檢查永遠是第一步。
- 第二步：矩陣乘法與單位矩陣矩陣乘法要求左矩陣的行數等於右矩陣的列數，結果的第 i 列第 j 行元是左矩陣第 i 列與右矩陣第 j 行對應相乘再相加。舉個例子：A = [1 2; 3 4] 乘 B = [5 6; 7 8]，左上元是 1×5 + 2×7 = 19，依次算滿四元。乘法滿足結合律與分配律，但一般 AB ≠ BA，次序絕不可調換。單位矩陣 I 是主對角線為一、其餘為零的方陣，任何矩陣乘 I 不變；轉置把行列互換，且 (AB)ᵀ = BᵀAᵀ。
- 第三步：行列式行列式把方陣壓縮成一個數，記法有 |A| 與 det A 兩種。二階行列式等於主對角線乘積減副對角線乘積，例如 [3 2; 1 4] 的行列式是 3×4 − 2×1 = 10。三階行列式按第一行展開：每個元乘其餘因子，即劃去該元所在列與行後剩下的二階行列式，正負號按加、減、加交替。舉個例子：第一行三個元 a、b、c 依次乘各自的餘因子再帶符號相加，結果只有一個數。行列式為零的方陣稱為奇異矩陣，這個詞會貫穿全課。
- 第四步：逆矩陣若方陣 A 與矩陣 B 滿足 AB = BA = I，B 就是 A 的逆矩陣 A⁻¹；逆矩陣存在當且僅當 A 非奇異，且是唯一的。二階有快捷公式：主對角線互換、副對角線變號，再除以行列式。舉個例子：A = [2 1; 1 −3] 的行列式是 −7，A⁻¹ = (1/−7)[−3 −1; −1 2]。三階逆矩陣走伴隨矩陣路線：先求九個餘因子組成餘因子矩陣，轉置得伴隨矩陣，再除以行列式。逆矩陣性質包括 (A⁻¹)⁻¹ = A、(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹、(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ，倒序規則與轉置相同。
- 第五步：三法解線性方程組線性方程組可寫成矩陣形式 AX = B，A 是係數矩陣。逆矩陣法：A 可逆時 X = A⁻¹B，注意必須從左邊乘；克萊瑪法則：x 等於把 A 的第一列換成常數列所得的行列式除以 D，y、z 類推，其中 D 是 A 的行列式；高斯消去法：對增廣矩陣 [A|B] 做行變換，化成簡化梯形後直接讀解。舉個例子：二元方程組先算 D 判斷有解，再逐一求 x、y；三法得到的答案應互相印證，考場上用最順手的一種、用另一種驗算。
- 第六步：奇異矩陣與解的判斷D = 0 時克萊瑪法則失效，方程組要麼無解，要麼有無限多解：兩條平行直線無公共點是無解，兩條重疊直線有無限多解，須另行分析。齊次線性方程組 AX = 0 必有全零解，稱為平凡解；課程定理指出：它有非平凡解當且僅當係數矩陣是奇異矩陣。舉個例子：x + 2y = 0 與 2x + 4y = 0 是同一條過原點的直線，係數矩陣行列式為零，任何滿足 x = −2y 的解都是非平凡解，例如 x = 2、y = −1。
- 第七步：應用與答題表述應用題把情境翻譯成 AX = B：先設未知數，逐句列方程，寫出係數矩陣與常數矩陣，驗證行列式不為零後用逆矩陣求解。舉個例子：買三支筆與兩本簿共付三十一元，買一支筆與三本簿共付十七元，係數矩陣 [3 2; 1 3] 的行列式為七，逆矩陣乘常數列得筆與簿的單價。答題時矩陣要寫明階數與每列每行的意義，未知矩陣與常數矩陣分列清楚，最後用文字連單位作答，這些卷面細節都是分數的所在。
5例題示範 Example
例題：用逆矩陣解線性方程組 2x + y = 5，x − 3y = −8。
- 寫成矩陣形式 AX = B：A = [2 1; 1 −3]，X = [x; y]，B = [5; −8]
- 驗證可逆：det A = 2×(−3) − 1×1 = −7 ≠ 0，故 A⁻¹ 存在且唯一
- 求逆矩陣：A⁻¹ = (1/−7)[−3 −1; −1 2]（主對角互換、副對角變號、除以行列式）
- 左乘 A⁻¹：X = A⁻¹B = (1/−7)[(−3)(5)+(−1)(−8); (−1)(5)+(2)(−8)] = (1/−7)[−7; −21] = [1; 3]
- 驗算：2(1) + 3 = 5 及 1 − 3(3) = −8，兩式皆成立
- 答案：x = 1，y = 3。評分位：矩陣形式與行列式檢驗、逆矩陣公式、矩陣乘法逐元正確、驗算作結；漏寫 det A ≠ 0 的理據是常見扣分點，矩陣表述不清（未寫 X 與 B）同樣失分。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1矩陣乘法 AB 有意義的條件是甚麼？
Q2求矩陣 [3 2; 1 4] 的行列式。
Q3求 A = [1 2; 3 4] 的逆矩陣。
Q4齊次線性方程組何時有非平凡解？
Q5用克萊瑪法則解 x + y = 3，x − y = 1。
8重點回顧 Recap
- 矩陣乘法逐列乘行、不可交換；AB 有意義要求左矩陣的行數等於右矩陣的列數。
- 行列式判可逆：det A = 0 為奇異不可逆；二階逆矩陣口訣：主對角互換、副對角變號、除以行列式。
- 逆矩陣性質須熟：(A⁻¹)⁻¹ = A、(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹、(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ；求逆前先驗行列式。
- 解線性方程組三法：逆矩陣法 X = A⁻¹B（左乘）、克萊瑪法則行列式之比、高斯消去法化簡化梯形。
- 齊次方程組必有平凡解，有非平凡解當且僅當係數矩陣奇異；D = 0 時非齊次組無解或無限多解。