積分法及其應用
基礎積分法是求導的逆過程：M2 在基本公式之上加入分部積分法與三角代換法，配合定積分性質與微積分基本定理，就能求兩曲線間的面積與旋轉體體積，把微積分化為幾何量度工具。
- 分部積分法處理兩類函數的乘積：∫u dv = uv − ∫v du，選 u 按「對數、反三角、代數、三角、指數」優先，一個積分最多用兩次。
- 三角代換對付根式：1/√(a²−x²) 積分得 sin⁻¹(x/a) + C，1/(x²+a²) 積分得 (1/a)tan⁻¹(x/a) + C；留意反三角記法與主值。
- 定積分用微積分基本定理計算：F(b) − F(a)，不須寫 C；奇函數在對稱區間為零，偶函數為半區間的兩倍。
文體小知識：數學概念說明文——講解分部積分法、三角代換法與定積分性質，再以兩曲線間面積與旋轉體體積展示積分的幾何應用，是 M2 微積分的收成課。
§課文原文 Passage
1中五的不定積分打好了基本盤：冪公式、倒數與指數公式、線性性質與代換積分法。中六的單元二把工具箱補齊：新增分部積分法與三角代換法，並把積分推廣到定積分，再應用於面積與體積。積分與求導互為逆過程這條主線不變，變的是工具的深度與應用的廣度。
2分部積分法處理兩類不同函數的乘積，公式是 u 乘 dv 的積分等於 uv 減去 v 乘 du 的積分。選誰做 u 有優先次序：對數、反三角、代數、三角、指數，越靠前越適合做 u。舉個例子：x 乘 e 的 x 次方積分，設 x 做 u，一次分部便得 x eˣ 減 eˣ；ln x 的積分同樣靠分部積分化開。
3三角代換法對付含根式的積分：根號 a 方減 x 方，設 x 等於 a 乘 sin θ，根號便化成 a 乘 cos θ。兩條標準結果要記牢：一的開方形式 1/√(a²−x²) 的積分是反正弦，一除以 x 方加 a 方的積分是反正切乘係數。課程同時要求認識 sin⁻¹x、cos⁻¹x、tan⁻¹x 的記法與主值概念。
4定積分把不定積分變成數：先求原函數，上限代入減下限代入，這就是微積分基本定理。定積分性質清晰：上下限互換變號、上下限相同得零、區間可以拆開、常數與和差逐項處理；啞變量說明積分值只取決於上下限與函數本身。對稱性更是省時利器：奇函數在對稱區間的定積分是零，偶函數則是半區間的兩倍。
5幾何應用有兩大主題：面積與旋轉體體積。兩曲線之間的面積，先解聯立方程找交點定上下限，上函數減下函數再積分。舉個例子：拋物線與直線圍出的區域，一次積分便得精確面積。曲線沿 x 軸旋轉一週掃出旋轉體，用圓盤法把體積寫成圓面積的積分，體積等於 π 乘以函數平方的定積分。
1重點摘要 Summary
積分法是求導的逆過程：M2 在基本公式之上加入分部積分法與三角代換法，配合定積分性質與微積分基本定理，就能求兩曲線間的面積與旋轉體體積，把微積分化為幾何量度工具。
2生字卡 Vocabulary
處理兩類函數乘積的積分技巧，公式為 ∫u dv = uv − ∫v du。
以 x = a sin θ 等代換消除根號的積分技巧，對付 √(a²−x²) 等形式。
定積分等於原函數在上限與下限取值之差，連繫微分與積分。
帶上下限的積分，結果為一個數，幾何上與曲線下有號面積相關。
定積分中可任意換名的變量，積分值與字母無關。
滿足 f(−x) = −f(x) 的函數，在對稱區間 [−a, a] 上定積分為零。
滿足 f(−x) = f(x) 的函數，在對稱區間上定積分為半區間的兩倍。
把旋轉體切成薄圓盤求體積的方法，V = π∫[f(x)]² dx。
平面曲線沿坐標軸或平行於坐標軸的直線旋轉一週掃成的立體。
反三角函數取值的規定範圍，例如 sin⁻¹x 落在 [−90°, 90°]。
3逐步講解 Steps
- 第一步：由基本積分到 M2 工具箱中五已掌握冪公式、倒數與指數公式、線性性質及代換積分法，中六單元二在此基礎上補齊三件新工具：分部積分法、三角代換法，以及把積分變成具體數值的定積分。舉個例子：x 乘 e 的 x 次方這類兩種函數相乘的被積函數，代換法無能為力，正是分部積分法的用武之地；而求拋物線下的精確面積，就要靠定積分。先建立全局，再逐一操練，是學好這一課的次序。
- 第二步：分部積分法分部積分法的公式是：u 乘 dv 的積分等於 uv 減去 v 乘 du 的積分，把一個積分拆成積的兩部分，換一邊再積。選 u 的優先次序是對數、反三角、代數、三角、指數，越靠前越適合當 u。舉個例子：求 x eˣ 的積分，設 u 為 x、dv 為 eˣ dx，得 x eˣ 減去 eˣ 的積分，即 x eˣ − eˣ + C；求 ln x 的積分也用同一招，設 u 為 ln x、dv 為 dx，得 x ln x − x + C。課程規定一個積分最多用分部積分法兩次；遇到 eˣ 乘 sin x 這類循環形式，兩次分部後原式重現，移項即解。
- 第三步：三角代換法含根式的積分有標準代換路線：根號 a 方減 x 方，設 x = a sin θ，根號自動化成 a cos θ，再按 θ 的三角積分處理。兩條標準結果直接背下：1/√(a²−x²) 的積分是 sin⁻¹(x/a) + C；1/(x²+a²) 的積分是 (1/a)tan⁻¹(x/a) + C。舉個例子：求 1/√(9−x²) 的積分，對照標準形取 a = 3，答案就是 sin⁻¹(x3) + C。課程同時要求認識 sin⁻¹x、cos⁻¹x、tan⁻¹x 的記法與主值概念，答題時角度須落在主值範圍之內。
- 第四步：定積分與微積分基本定理定積分記作 ∫ₐᵇ f(x) dx，意義是曲線與 x 軸之間有號面積的極限。計算靠微積分基本定理：若 F 的導數是 f，則定積分等於 F(b) − F(a)。性質包括上下限互換變號、上下限相同得零、區間可拆成兩段、常數與和差可逐項處理。舉個例子：x 的平方由零積到三，先寫原函數 x³/3，代入得九。課程還要求認識啞變量：∫ₐᵇ f(x) dx 與 ∫ₐᵇ f(t) dt 完全相同，積分值與變量字母無關，換名不改變答案。
- 第五步：對稱性與定積分的代換分部對稱區間上的定積分可用奇偶性速算：奇函數滿足 f(−x) = −f(x)，在 −a 到 a 的定積分為零；偶函數滿足 f(−x) = f(x)，定積分等於零到 a 的兩倍。舉個例子：x 的三次方由負一積到一，直接得零，連原函數都不必寫。定積分同樣可用代換法與分部積分法：代換時緊記把上下限一併換成新變量的對應值；分部時先寫出 uv 減 v du 的整式再代限。兩者的共同失分位都是忘了換限，導致新舊變量混雜。
- 第六步：應用一：兩曲線之間的面積求兩曲線圍成的面積分三步：先解聯立方程求交點，定出積分上下限；再判斷區間內哪條曲線在上，用上函數減下函數；最後積分。舉個例子：y = x² 與 y = x + 2，聯立解得交點 x = −1 及 x = 2，區間內直線在上，面積 = ∫₋₁²[(x+2)−x²] dx = 92。若曲線有部分在 x 軸下方，該段積分為負，面積須分段取絕對值後相加，直接整段積分會把正負面積抵銷，這是面積題最大的陷阱。
- 第七步：應用二：旋轉體體積（圓盤法）曲線沿坐標軸或平行於坐標軸的直線旋轉一週，掃出的立體叫旋轉體，用圓盤法求體積：把立體切成一片片薄圓盤，半徑是曲線到旋轉軸的距離，厚度是 dx，每片體積是 π 乘半徑平方乘 dx，全部相加的極限就是定積分 V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx。舉個例子：y = √x 由零到四沿 x 軸旋轉，V = π∫₀⁴ x dx = 8π；若改沿直線 y = −1 旋轉，半徑變成 √x + 1，被積函數隨之改寫。答題時先寫圓盤半徑，再寫積分式，層次才完整。
5例題示範 Example
例題：求拋物線 y = x² 與直線 y = x + 2 所圍區域的面積。
- 解聯立方程 x² = x + 2，即 x² − x − 2 = 0，因式分解得 (x−2)(x+1) = 0，交點橫坐標為 x = −1 及 x = 2
- 在區間 [−1, 2] 內直線在拋物線上方（以 x = 0 檢驗：2 > 0），故面積 = ∫₋₁² [(x+2) − x²] dx
- 求原函數：∫[(x+2)−x²] dx = x²/2 + 2x − x³/3
- 代入上下限：(2 + 4 − 83) − (12 − 2 + 13) = 103 − (−76) = 276 = 92
- 答案：所圍面積為 92 平方單位。本題三個評分位：解聯立方程定上下限、判斷上下曲線並寫出上減下、原函數正確代入；若誤以 x² − (x+2) 積分會得 −92，面積不可能為負，檢查符號即可攔截錯誤。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1分部積分法適用於哪類被積函數？舉一例。
Q2求 ∫ x eˣ dx。
Q3求 ∫₋₁¹ x³ dx。
Q4曲線 y = √x 在 [0, 4] 沿 x 軸旋轉一週，求旋轉體體積。
Q5求 ∫ 1/(x²+4) dx。
8重點回顧 Recap
- 分部積分法處理兩類函數的乘積：∫u dv = uv − ∫v du，選 u 按「對數、反三角、代數、三角、指數」優先，一個積分最多用兩次。
- 三角代換對付根式：1/√(a²−x²) 積分得 sin⁻¹(x/a) + C，1/(x²+a²) 積分得 (1/a)tan⁻¹(x/a) + C；留意反三角記法與主值。
- 定積分用微積分基本定理計算：F(b) − F(a)，不須寫 C；奇函數在對稱區間為零，偶函數為半區間的兩倍。
- 兩曲線間面積：先求交點定上下限，再上減下積分；結果為負即上下弄反或漏了分段。
- 旋轉體體積用圓盤法：V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx，半徑是曲線到旋轉軸的距離，沿平行線旋轉時半徑要改寫。