DSE 複習與應試（單元二）
基礎DSE 單元二同樣是一份傳統題試卷，重視證明與多步運算：重溫代數與微積分兩大領域的解題套路，學會拆解分部引導的長題目、善用前部分結果，以證明題格式與限時模擬穩奪等級。
- M2 同為一份傳統題卷、兩小時半、比重 100%；內容重證明、恆等式推導與多步運算。
- 證明題由一邊推到另一邊、每步寫理據；歸納法兩步齊備，並以結論句收結。
- 長題目分部引導：前部分結果必引用於後部分；卡住時可設結果為已知繼續取分。
文體小知識：數學概念說明文——說明單元二的考評設計，整理證明題的表述規範與分部引導長題目的拆法，並拆解一條典型長題目連評分位。
§課文原文 Passage
1單元二與單元一的考評格式相同：一份傳統題試卷、比重百分之一百、考試時間兩小時半，成績與必修部分分開匯報。分別在內容與風格：M2 涵蓋代數與微積分兩大領域，題目重視證明、恆等式推導與多步運算；評核目標明言測驗考生對代數與微積分概念、原理及方法的理解，以及運用適當技巧解決多樣問題的能力。
2M2 的課程地圖：代數領域有數系與根式、二項式定理、三角學、數學歸納法、行列式、矩陣與線性方程組、向量；微積分領域有極限、求導法及其應用、不定積分法、定積分法及其應用，包括分部積分法與三角代換法；向量延伸至三維的純量積與向量積。複習宜先親手重建公式表，再進入按課題的操練。
3證明題是 M2 的招牌：證恆等式只可由一邊推到另一邊，每步寫清所用公式；數學歸納法兩步缺一不可，先驗起始值成立，再由假設 n 等於 k 推出 n 等於 k 加一也成立。循環論證、以特例代替證明、兩邊同時化簡，都是評卷員第一眼會捉的錯；證明的最後一句結論不可省略。
4M2 長題目最典型的結構是分部引導：先求不定積分，再用於定積分、面積或旋轉體體積；先求逆矩陣，再用於解方程組；先算點積或叉積，再算夾角與面積。前一部分的結果務必帶入後部分使用，既省時間又合乎題目設計；即使前部分未完成，也可設其結果為已知繼續往下做，後面的分數仍然可取。
5應試佈局與 M1 相同：按分數分配時間、先易後難、保留覆核時間；矩陣題落筆前先驗行列式不為零，向量題寫清楚記法與單位向量，積分題驗算可以把結果求導還原。溫習以歷屆試題為主軸，按課題歸類操練並建立錯題本；臨考前限時完成整卷模擬，把狀態推到考試日。
1重點摘要 Summary
DSE 單元二同樣是一份傳統題試卷，重視證明與多步運算：重溫代數與微積分兩大領域的解題套路，學會拆解分部引導的長題目、善用前部分結果，以證明題格式與限時模擬穩奪等級。
2生字卡 Vocabulary
公開考試各部分比重與時間的官方安排；M2 為一份傳統題卷、兩小時半。
由已知按邏輯逐步推出結論的過程，不容循環論證或以特例代替。
先驗起始值、再由 n = k 推 n = k + 1 的證明方法，兩步與結論缺一不可。
對所有允許值都成立的等式；證明須由一邊推到另一邊。
長題目以多部分層層鋪路、前部分結果供後部分使用的結構。
行列式展開中每個元對應的帶符號子行列式，用於三階行列式與逆矩陣。
餘因子矩陣的轉置；三階逆矩陣等於伴隨矩陣除以行列式。
綜合截距、極值點、拐點與漸近線畫出函數圖像的技巧。
評核文件中長題目所着重的能力，如綜合運用、論證與多步推演。
記錄錯題與錯因（概念、計算、表述）的複習工具，供針對性改進。
3逐步講解 Steps
- 第一步：考評格式與 M2 的風格單元二的公開考試同樣是一份傳統題試卷，比重百分之一百，考試時間兩小時半，成績與必修部分分開匯報。與 M1 相比，M2 題目更重視證明、恆等式推導與多步運算；評核目標明言測驗對代數與微積分概念、原理及方法的理解，以及運用適當技巧解決多樣問題的能力。舉個例子：同一條面積題，M2 可以先要求證明一個積分恆等式，再應用於面積計算，證明與計算兩種得分來源並存，答題須兼顧兩種風格。
- 第二步：課程地圖與公式表重建M2 兩大領域：代數有數系與根式、二項式定理、三角學、數學歸納法、行列式、矩陣與線性方程組、向量；微積分有極限、求導法及其應用、不定積分法、定積分法及其應用，含分部積分法與三角代換法。複習第一步是親手重建兩頁公式表：求導表、積分表、矩陣性質表、向量公式表。舉個例子：積分表由冪公式一路列到三角代換的兩條標準結果，漏了哪條補哪條；重建的過程本身就是最有效的第一輪複習。
- 第三步：證明題的表述規範證恆等式只可由一邊出發推到另一邊，每步在旁寫所用公式或法則；不可兩邊同時化簡再相遇，更不可以代入兩三個數值代替證明。數學歸納法兩步缺一不可：n 等於起始值時成立，並由假設 n 等於 k 推出 n 等於 k 加一成立。舉個例子：證一加二加三加至 n 等於 n(n+1)/2，先驗 n = 1，再設等式在 n = k 成立，兩邊加 k+1 後配成 n = k+1 的形式，最後寫結論句；漏結論句是歸納法最常見的失分。
- 第四步：分部引導長題目的拆法M2 長題目常以分部引導：第一部分求工具，後部分用工具。常見組合有三：先求不定積分，再做定積分與面積或旋轉體體積；先求逆矩陣，再解方程組或求未知矩陣；先算點積或叉積，再算夾角與面積。舉個例子：本課例題第一部分用分部積分求 ln x 的不定積分，第二部分代入上下限定值，第三部分說明函數非負後把面積化為定積分；前部分的結果務必引用，題目是刻意鋪路，繞路重做反而費時失分。
- 第五步：矩陣與向量題的卷面細節矩陣題落筆順序：寫明矩陣與階數、驗行列式不為零、再求逆；三階求逆走餘因子與伴隨矩陣，符號交替最容易錯，宜逐格覆核。向量題寫清記法與單位向量，叉積用行列式展開，i、j、k 的循環次序先寫在旁邊作提醒。舉個例子：解三元方程組，先寫 D = det A 並算出非零，才宣告可用克萊瑪法則；漏了這一步，即使三個答案全對，論證也不完整，會被扣表述分。
- 第六步：檢查與驗算的技術驗算不是重做一次，而是換一條路核對：積分答案求導還原；解方程組把答案代回原式；逆矩陣乘原矩陣驗證得單位矩陣；向量夾角檢查餘弦值是否在負一與一之間；面積與體積檢查是否為正。舉個例子：分部積分求得的 x eˣ − eˣ + C，求導得 eˣ + x eˣ − eˣ = x eˣ，五秒鐘確認無誤。考場上每完成一大題，用十至二十秒做合理化檢查，比全卷完成後才覆核更有效，也更能即時挽回筆誤。
- 第七步：操卷節奏與心態管理與 M1 相同的操卷期安排：先分課題操練歷屆試題建立模板，再限時模擬整卷；錯題本按概念、計算、表述三類歸因。M2 題目較長，遇到陌生包裝的題目，先辨認它考哪個學習單位，再套用該單位的標準起手式。舉個例子：題目給一個含根式的積分，多半是三角代換；給一個矩陣方程 AX + B = X，先移項成可乘逆矩陣的形式。看清包裝、認出原型，M2 的難題其實是熟題；心態上把每題當成模板的變奏，緊張自然下降。
5例題示範 Example
例題（典型 M2 長題目）：(a) 用分部積分法求 ∫ ln x dx。(b) 從而計算 ∫₁ᵉ ln x dx。(c) 求曲線 y = ln x 與 x 軸在 x = 1 至 x = e 之間所圍的面積。
- (a) 設 u = ln x、dv = dx，則 du = (1/x)dx、v = x；∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x)dx = x ln x − x + C。【評分位：分部積分的設定得方法分、結果得答案分】
- (b) 引用 (a)：[x ln x − x] 由 1 到 e = (e×1 − e) − (1×0 − 1) = 0 − (−1) = 1；定積分不須寫 C。【評分位：引用前部分結果、上下限代入正確】
- (c) 在 [1, e] 上 ln x ≥ 0，曲線在 x 軸上方，故面積等於 (b) 的定積分，面積 = 1 平方單位。【評分位：說明非負、連結面積與定積分】
- 若題目續問該區域繞 x 軸旋轉的體積，即 V = π∫₁ᵉ (ln x)² dx，須再用一次分部積分——展示 M2 長題目層層推進的典型結構
- 答案：∫ln x dx = x ln x − x + C；∫₁ᵉ ln x dx = 1；所求面積 = 1 平方單位。M2 評分重視過程與引用：前部分結果不用於後部分、證明或說明跳步、不定積分漏寫 C，都是常見失分位。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1DSE 單元二的公開考試時間與形式是怎樣的？
Q2求 ∫ ln x dx。
Q3數學歸納法的兩個步驟是甚麼？
Q4矩陣 A = [2 5; 1 3] 可逆嗎？
Q5兩個非零向量正交的充要條件是甚麼？
8重點回顧 Recap
- M2 同為一份傳統題卷、兩小時半、比重 100%；內容重證明、恆等式推導與多步運算。
- 證明題由一邊推到另一邊、每步寫理據；歸納法兩步齊備，並以結論句收結。
- 長題目分部引導：前部分結果必引用於後部分；卡住時可設結果為已知繼續取分。
- 矩陣題先驗行列式、向量題寫清記法、積分題以求導還原驗算；卷面表述本身有分。
- 操卷分課題建模板、錯題按概念計算表述歸因、考前限時全卷模擬；難題是熟題的變奏。