积分应用与估计（单元一）
进阶单元一的积分重应用：以基本公式与代换积分法计算定积分，求曲线与 x 轴之间的面积；原函数难求时，用梯形法则以等距数据估计积分值，并以二阶导数的凹性判断估计过高抑或过低。
- M1 工具箱：基本公式（k、xⁿ、1/x、eˣ）加线性性质与代换法；不包括分部积分法与三角代换法。
- 定积分用微积分基本定理：F(b) − F(a)；性质包括换限变号、拆区间、常数与和差逐项处理。
- 面积题先找交点分段，轴下方取绝对值；M1 不要求曲线与 y 轴之间或两曲线之间的面积。
文体小知识：数学概念说明文——讲解单元一的定积分应用与梯形法则数值估计，并以二阶导数的凹性判断估计值过高抑或过低，突出 M1 重应用的课程本色。
§课文原文 Passage
1单元一的积分重视应用。与单元二相比，M1 的工具箱较精简：基本公式覆盖常数、幂、倒数与指数函数，配合线性性质与代换积分法；课程明确不包括分部积分法，也没有三角代换。工具少不等于容易，M1 的分数在于把积分用得准：定积分、面积与数值估计才是主战场，答题的论证格式尤为重要。
2定积分由曲线下矩形条面积和的极限定义，计算靠微积分基本定理：先找原函数，上限代入减去下限代入。定积分与不定积分最大的分别是答案为一个数，不再含积分常数；上下限互换会变号，区间可以拆开合并，常数与和差都能逐项处理。代换积分法用于定积分时，可把上下限一并换成新变量的对应值。
3面积应用的标准问法是曲线与 x 轴之间的面积：先解方程找曲线与轴的交点，把区间分段；函数值为负的部分，积分结果为负，取绝对值后才相加。举个例子：y = x² − 4 在负二到二之间位于 x 轴下方，这一段要独立处理。留意课程边界：M1 不须求曲线与 y 轴之间的面积，也不须求两条曲线之间的面积。
4许多实际数据没有解析式，原函数找不到，定积分便用梯形法则估计：把区间分成等宽的小段，每段用梯形面积近似曲线下的面积，公式是组距的一半乘以首尾值加两倍中间值之和。分段越细，估计越准。实验数据只有表列函数值时，同样把表值代入这条公式，积分照样可估。
5估计是过高抑或过低，用二阶导数的凹性判断：二阶导数为正，图像开口向上，梯形顶连成的弦在曲线上方，估计过高；二阶导数为负则估计过低。这一步是 M1 梯形法则题的必答位：先求二阶导数定凹向，再下结论，论证才算完整；只写答案不讲理据，会失去判断部分的分数。
1重点摘要 Summary
单元一的积分重应用：以基本公式与代换积分法计算定积分，求曲线与 x 轴之间的面积；原函数难求时，用梯形法则以等距数据估计积分值，并以二阶导数的凹性判断估计过高抑或过低。
2生字卡 Vocabulary
把区间等分后以梯形面积近似定积分的数值方法，T = (h2)[首+尾+2×中间和]。
把积分区间等分后所得的每个小区间，数目越多估计越准。
相邻分点之间的距离 h = (b−a)/n，梯形法则公式中的 h。
估计值大于真值；开口向上（二阶导数为正）的曲线用梯形法则所得。
估计值小于真值；开口向下（二阶导数为负）的曲线用梯形法则所得。
图像的弯曲方向，由二阶导数的正负决定，用于判断梯形估计过高或过低。
定积分等于原函数在上限与下限取值之差，是定积分计算的核心。
设新变量 u 化简复合形式的积分；用于定积分时可连上下限一并更换。
由曲线下矩形条面积和的极限定义，结果为一个数。
定积分中可任意换名的变量，例如 x 可换成 t 而积分值不变。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：M1 的积分工具箱与课程边界单元一的不定积分公式表：常数 k 的积分是 kx + C；x 的 n 次方积分是 x 的 n 加一次方除以 n 加一；x 分之一积分是 ln x + C；e 的 x 次方积分是自身。配合线性性质与代换积分法。课程边界要记清：M1 不包括分部积分法，也没有三角代换法，见到 x 乘 eˣ 这类题型毋须强解。举个例子：三 x 平方的积分，系数抽出、幂公式套用，得 x 的三次方加 C。把工具箱背熟，再把力气花在应用。
- 第二步：代换积分法（M1 口径）代换积分法处理复合形式：设内层函数为 u，求出 du，把原式全部化成 u 的式子，积分后回代。举个例子：∫2x/(x²+1) dx 设 u = x²+1、du = 2x dx，积分变成 ∫du/u = ln(x²+1) + C。定积分用代换时，上下限一并由 x 值换成 u 值，便不须回代。判断能否代换的口诀：被积函数里刚好有一块是另一块的导数乘以常数，例如分子恰是分母的导数。M1 的代换题以多项式与指数复合为主，不会出现三角代换。
- 第三步：微积分基本定理与定积分性质定积分的定义是曲线下矩形条面积和的极限，计算靠微积分基本定理：∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F 的导数是 f。性质包括上下限互换变号、上下限相同为零、区间拆分、常数与和差逐项处理。举个例子：e 的 x 次方由零积到一得 e − 1；x 的平方由一积到三得 (27−1)/3 = 263。定积分答案是数，不须写 C；哑变量概念说明把 x 换成 t 不影响积分值，这也是课程明确要求的认知。
- 第四步：面积应用与符号处理M1 的面积题标准问法是曲线与 x 轴之间的面积：先解 f(x) = 0 找交点分段；函数在轴下方的区段积分为负，面积取其绝对值后才相加。举个例子：y = x² − 4 由 −3 到 3 与 x 轴之间的面积，曲线在 −2 到 2 之间位于轴下方，须把该段的定积分取绝对值，再加上两侧的正积分。课程边界同时要记住：M1 不须求曲线与 y 轴之间的面积，也不须求两条曲线之间的面积，温习时不要做多，时间留给应用题。
- 第五步：定积分解应用题M1 的应用题重视论证格式。常见情境有二：由变率还原总量，例如已知边际成本求成本函数，积分后用初始条件定常数；由速率求总量，例如已知流量求一段时间的累积量，直接用定积分。答题五步：设变数、写函数与定义域、积分、代入条件、文字作答。举个例子：边际成本是六 x 加二，产量由零到十的成本增量就是定积分，得三百二十；漏写定义域或结论句是最常见的失分位。
- 第六步：梯形法则原函数找不到或只有表列数据时，用梯形法则估计定积分：把 [a, b] 分成 n 等份，组距 h = (b−a)/n，每段以梯形面积近似曲线下面积，公式 T = (h2)[首值 + 尾值 + 2×(中间各值之和)]。举个例子：以两个等份估计 ∫₀² x² dx，h = 1，y 值依次是零、一、四，T = (12)(0 + 4 + 2×1) = 3，比精确值 83 ≈ 2.67 略大。分段越细越准；数据表题直接把表值代入同一条公式，中间值记得乘二。
- 第七步：过高抑或过低：凹性判断梯形法则的估计是过高还是过低，课程要求用二阶导数与凹性判断：f''(x) > 0 时图像开口向上，每段梯形的弦在曲线上方，估计过高；f''(x) < 0 时弦在曲线下方，估计过低。举个例子：f(x) = e⁻ˣ 的二阶导数仍是 e⁻ˣ > 0，开口向上，梯形法则估计 ∫₀¹ e⁻ˣ dx 必然过高；对照精确值 1 − e⁻¹ ≈ 0.632 与估计值 0.635，的确如此。答题次序固定：先求二阶导数、再讲凹向、后下结论，三步缺一都被扣分。
5例题示范 Example
例题：用梯形法则，以四个等距子区间估计 ∫₀¹ e⁻ˣ dx，并判断估计是过高抑或过低。
- 组距 h = (1−0)/4 = 0.25；列值表：f(0) = 1，f(0.25) ≈ 0.7788，f(0.5) ≈ 0.6065，f(0.75) ≈ 0.4724，f(1) ≈ 0.3679
- 套用公式：T = (0.252)[1 + 0.3679 + 2(0.7788 + 0.6065 + 0.4724)] = 0.125 × (1.3679 + 3.7154) = 0.635（三位小数）
- 判断凹性：f'(x) = −e⁻ˣ，f''(x) = e⁻ˣ > 0，图像在 [0, 1] 开口向上
- 结论：开口向上时各梯形的弦在曲线上方，估计过高；对照精确值 ∫₀¹ e⁻ˣ dx = 1 − e⁻¹ ≈ 0.632，估计值 0.635 确实略大
- 答案：估计值为 0.635，属过高估计。评分位：列值表与公式代入、三位小数的正确舍入、二阶导数与凹向、过高过低的结论及理据；只写结论而不写凹性论证，会失去判断部分的分数。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1M1 的积分工具箱与 M2 相比缺了甚么？
Q2求 ∫ (2x+1)³ dx。
Q3求 ∫₀¹ eˣ dx。
Q4以两个等份用梯形法则估计 ∫₀² x² dx，并说明估计过高抑或过低。
Q5为何 f'' > 0 时梯形法则给出过高估计？
8重点回顾 Recap
- M1 工具箱：基本公式（k、xⁿ、1/x、eˣ）加线性性质与代换法；不包括分部积分法与三角代换法。
- 定积分用微积分基本定理：F(b) − F(a)；性质包括换限变号、拆区间、常数与和差逐项处理。
- 面积题先找交点分段，轴下方取绝对值；M1 不要求曲线与 y 轴之间或两曲线之间的面积。
- 梯形法则：T = (h2)[首 + 尾 + 2×(中间和)]；表列数据直接代入，中间值乘二。
- 用二阶导数判过高过低：f'' > 0 开口向上估计过高，f'' < 0 过低；论证三步：求导、讲凹向、下结论。