向量及其應用
基礎向量同時攜帶大小與方向：由模、單位向量與坐標表示出發，掌握點積求夾角與判斷正交、叉積求面積與法向量，再應用於線段分割、平行判斷與投影，打通二維與三維幾何。
- 向量有大小與方向：模、單位向量 a/|a|、零向量；記法分印刷與書寫兩套，零向量方向不定。
- 加減用三角形法則，平行條件 a = kb；坐標表示把幾何化為代數，模用畢氏定理的三維推廣。
- 點積是數：a·b = |a||b|cos θ = 分量乘積之和；點積為零即正交，用於求夾角與證垂直。
文體小知識：數學概念說明文——由向量與純量的概念、運算與坐標表示走到點積與叉積，再以夾角、投影、線段分割與三角形面積示範向量的幾何應用。
§課文原文 Passage
1只有大小的量是純量，同時有大小與方向的量是向量：位移、力、速度都是向量。向量用印刷粗體或書寫箭頭表示，也可用兩點標示由 A 指向 B；長度稱為模，模為一的向量是單位向量，模為零的是零向量。任何非零向量除以自己的模，便得到同方向的單位向量，這是表達方向的基本手段。
2向量的加法用三角形法則：把 b 的起點接到 a 的終點，由 a 的起點畫到 b 的終點；減法方向不可顛倒。純量乘法把模放大或縮小，係數為負時方向反轉；兩非零向量平行的充要條件是其中一個等於另一個乘以純量。在直角坐標系中，向量寫成分量組合，模用畢氏定理的三維推廣計算，方向角由分量與模之比決定。
3點積把兩個向量壓成一個數：等於兩模相乘再乘夾角的餘弦，也等於對應分量乘積之和。點積最大的用途是求夾角與判斷正交：兩非零向量垂直當且僅當點積為零。舉個例子：力與位移的點積正是功，這解釋了為何垂直於位移的力不做功；幾何證明中要證兩線垂直，證兩方向向量的點積為零即可。
4三維空間還有叉積：兩個向量的叉積是向量，垂直於原來兩向量所成的平面，方向由右手定則決定，模等於兩模相乘再乘夾角的正弦，正好是兩向量張成的平行四邊形面積。叉積用三階行列式展開計算，滿足反交換律，任何向量與自己的叉積為零；i、j、k 的循環次序是計算的關鍵。
5應用集中在幾何：夾角由點積公式反解；投影把一個向量分解到另一個向量方向上；線段的分割用分點公式按已知比求分點的位置向量；三角形的面積等於兩邊向量叉積的模的一半。平行與正交的判斷貫穿全部應用，是證明題與計算題的共同起點，也是 M2 向量題的兩把鑰匙。
1重點摘要 Summary
向量同時攜帶大小與方向：由模、單位向量與坐標表示出發，掌握點積求夾角與判斷正交、叉積求面積與法向量，再應用於線段分割、平行判斷與投影，打通二維與三維幾何。
2生字卡 Vocabulary
同時具有大小與方向的量，如位移、力、速度。
只有大小、沒有方向的量，如溫度、質量、時間。
向量的長度，記作 |a|，坐標形式為分量的平方和開方。
模為一的向量；非零向量除以其模即得同方向單位向量。
以原點為起點、指向點 P 的向量，分量等於 P 的坐標。
a·b = |a||b|cos θ = 對應分量乘積之和，結果為一個數。
三維中的 a×b，是垂直於兩向量的向量，模為 |a||b|sin θ。
一向量在另一向量方向上的有號長度（純量投影）或分向量（向量投影）。
兩非零向量互相垂直，充要條件是點積為零。
按已知比求線段分點位置向量的公式，中點公式是其特例。
3逐步講解 Steps
- 第一步：向量與純量、記法與模只有大小的量是純量，例如溫度、質量、時間；同時有大小與方向的量是向量，例如位移、力、速度。向量記法分兩套：印刷用粗體字母 a，書寫用字母上加箭頭，或用兩點表示由 A 指向 B 的向量；模記作 |a|，表示長度。特殊向量有兩個：模為一的單位向量與模為零的零向量，零向量方向不定。舉個例子：非零向量除以自身的模便得同方向的單位向量，把力分解成方向與大小兩個信息，正是這個操作。
- 第二步：向量的運算加法用三角形法則：把 b 的起點接到 a 的終點，由 a 的起點畫到 b 的終點；減法 a − b 是由 b 的終點畫到 a 的終點，方向不可顛倒。純量乘法把模放大或縮小，係數為負時方向反轉；兩非零向量平行的充要條件是 a = kb。運算性質與實數相似，交換律、結合律、分配律都成立。舉個例子：向北走三公里再向東走四公里，合位移的模是五公里，正是三角形法則與畢氏定理的結合；方向相反的力則互相抵消。
- 第三步：直角坐標表示在直角坐標系中，以原點為起點指向點 P 的向量稱為位置向量，分量就是 P 的坐標。二維向量 a = xi + yj，模是 √(x²+y²)；三維再加 zk，模是 √(x²+y²+z²)。方向角由分量與模之比決定：sin θ = y/√(x²+y²)、cos θ = x/√(x²+y²)。舉個例子：向量 3i + 4j 的模是五，與 x 軸夾角的餘弦是五分之三、正弦是五分之四。坐標表示令幾何問題全部化為代數運算；留意課程不包括方向餘弦的概念，不必深究。
- 第四步：純量積（點積）點積把兩個向量壓成一個數，定義是 a·b = |a||b|cos θ，坐標形式等於對應分量乘積之和。性質包括交換律、對加法的分配律，以及 a·a = |a|²。最重要的事實：兩非零向量垂直當且僅當點積為零，因為九十度的餘弦是零。舉個例子：物理的功正是力與位移的點積，力垂直於位移時做功為零；幾何上要證兩線垂直，設出兩條線的方向向量，證點積是零即可，這是證明題的標準起手。
- 第五步：向量積（叉積）三維向量的叉積 a×b 是向量：方向垂直於 a 與 b 所成的平面，由右手定則決定；模等於 |a||b|sin θ，恰是兩向量張成的平行四邊形面積。計算用三階行列式：第一行寫 i、j、k，第二、三行寫兩向量的分量，逐項展開。性質包括反交換律 b×a = −(a×b)，以及 a×a = 0。舉個例子：i×j = k、j×k = i、k×i = j，循環次序一亂符號就錯，展開時 j 分量前的減號也最易漏，這是叉積計算的兩大失分位。
- 第六步：夾角與投影由點積定義反解夾角：cos θ = a·b ÷ (|a||b|)，坐標代入後先算點積與兩個模，再開反餘弦。投影有兩種：純量投影是 a 在 b 方向上的有號長度，等於 a·b ÷ |b|；向量投影再乘 b 方向的單位向量，得真正的分向量。舉個例子：a = 2i + j + 2k 與 b = i + 2j + 2k 的點積是八，兩模都是三，夾角的餘弦是九分之八，夾角約二十七點三度；a 在 b 上的純量投影是三分之八。點積為正說明夾角是銳角，可作快速檢查。
- 第七步：幾何應用：分割、平行與面積線段的分割用分點公式：P 在 AB 上且 AP 比 PB 等於 m 比 n，則 P 的位置向量等於 (n × OA + m × OB) ÷ (m+n)；中點公式是 m = n 的特例。平行性用 a = kb 判斷，正交性用點積為零判斷，兩者是幾何證明的兩大工具。三角形面積等於兩邊對應向量叉積的模的一半。舉個例子：A(0, 0)、B(4, 0)、C(0, 3) 的三角形，兩邊向量 AB = 4i、AC = 3j，叉積的模是十二，面積是六，與底乘高除二的結果一致，公式得到印證。
5例題示範 Example
例題：設 a = 2i + j + 2k，b = i + 2j + 2k，求 a 與 b 的夾角，以及 a 在 b 上的投影。
- 求模：|a| = √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3；|b| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3
- 求點積：a·b = 2×1 + 1×2 + 2×2 = 8
- 求夾角：cos θ = a·b ÷ (|a||b|) = 89，故 θ = cos⁻¹(89) ≈ 27.3°
- 求投影：純量投影 = a·b ÷ |b| = 83；向量投影 = (89)b = (89)(i + 2j + 2k)
- 答案：夾角約 27.3°，a 在 b 上的純量投影為 83，向量投影為 (89)(i + 2j + 2k)。評分位：模與點積的正確計算、夾角公式的運用、投影的定義與單位向量；點積為正說明夾角是銳角，可作快速核對。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1如何求非零向量 a 的單位向量？
Q2求向量 (1, 2, 2) 的模。
Q3判斷 a = (2, −1, 3) 與 b = (1, 2, 0) 是否正交。
Q4a = (1, 2)、b = (3, 4)，寫出夾角 θ 的餘弦。
Q5如何用叉積求三角形面積？
8重點回顧 Recap
- 向量有大小與方向：模、單位向量 a/|a|、零向量；記法分印刷與書寫兩套，零向量方向不定。
- 加減用三角形法則，平行條件 a = kb；坐標表示把幾何化為代數，模用畢氏定理的三維推廣。
- 點積是數：a·b = |a||b|cos θ = 分量乘積之和；點積為零即正交，用於求夾角與證垂直。
- 叉積是向量：模 |a||b|sin θ 是平行四邊形面積，方向由右手定則決定，行列式展開符號交替。
- 應用四件套：夾角、投影、線段分割的分點公式、三角形面積 = |a×b| ÷ 2。