积分法及其应用
基础积分法是求导的逆过程：M2 在基本公式之上加入分部积分法与三角代换法，配合定积分性质与微积分基本定理，就能求两曲线间的面积与旋转体体积，把微积分化为几何量度工具。
- 分部积分法处理两类函数的乘积：∫u dv = uv − ∫v du，选 u 按「对数、反三角、代数、三角、指数」优先，一个积分最多用两次。
- 三角代换对付根式：1/√(a²−x²) 积分得 sin⁻¹(x/a) + C，1/(x²+a²) 积分得 (1/a)tan⁻¹(x/a) + C；留意反三角记法与主值。
- 定积分用微积分基本定理计算：F(b) − F(a)，不须写 C；奇函数在对称区间为零，偶函数为半区间的两倍。
文体小知识：数学概念说明文——讲解分部积分法、三角代换法与定积分性质，再以两曲线间面积与旋转体体积展示积分的几何应用，是 M2 微积分的收成课。
§课文原文 Passage
1中五的不定积分打好了基本盘：幂公式、倒数与指数公式、线性性质与代换积分法。中六的单元二把工具箱补齐：新增分部积分法与三角代换法，并把积分推广到定积分，再应用于面积与体积。积分与求导互为逆过程这条主线不变，变的是工具的深度与应用的广度。
2分部积分法处理两类不同函数的乘积，公式是 u 乘 dv 的积分等于 uv 减去 v 乘 du 的积分。选谁做 u 有优先次序：对数、反三角、代数、三角、指数，越靠前越适合做 u。举个例子：x 乘 e 的 x 次方积分，设 x 做 u，一次分部便得 x eˣ 减 eˣ；ln x 的积分同样靠分部积分化开。
3三角代换法对付含根式的积分：根号 a 方减 x 方，设 x 等于 a 乘 sin θ，根号便化成 a 乘 cos θ。两条标准结果要记牢：一的开方形式 1/√(a²−x²) 的积分是反正弦，一除以 x 方加 a 方的积分是反正切乘系数。课程同时要求认识 sin⁻¹x、cos⁻¹x、tan⁻¹x 的记法与主值概念。
4定积分把不定积分变成数：先求原函数，上限代入减下限代入，这就是微积分基本定理。定积分性质清晰：上下限互换变号、上下限相同得零、区间可以拆开、常数与和差逐项处理；哑变量说明积分值只取决于上下限与函数本身。对称性更是省时利器：奇函数在对称区间的定积分是零，偶函数则是半区间的两倍。
5几何应用有两大主题：面积与旋转体体积。两曲线之间的面积，先解联立方程找交点定上下限，上函数减下函数再积分。举个例子：抛物线与直线围出的区域，一次积分便得精确面积。曲线沿 x 轴旋转一周扫出旋转体，用圆盘法把体积写成圆面积的积分，体积等于 π 乘以函数平方的定积分。
1重点摘要 Summary
积分法是求导的逆过程：M2 在基本公式之上加入分部积分法与三角代换法，配合定积分性质与微积分基本定理，就能求两曲线间的面积与旋转体体积，把微积分化为几何量度工具。
2生字卡 Vocabulary
处理两类函数乘积的积分技巧，公式为 ∫u dv = uv − ∫v du。
以 x = a sin θ 等代换消除根号的积分技巧，对付 √(a²−x²) 等形式。
定积分等于原函数在上限与下限取值之差，连系微分与积分。
带上下限的积分，结果为一个数，几何上与曲线下有号面积相关。
定积分中可任意换名的变量，积分值与字母无关。
满足 f(−x) = −f(x) 的函数，在对称区间 [−a, a] 上定积分为零。
满足 f(−x) = f(x) 的函数，在对称区间上定积分为半区间的两倍。
把旋转体切成薄圆盘求体积的方法，V = π∫[f(x)]² dx。
平面曲线沿坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转一周扫成的立体。
反三角函数取值的规定范围，例如 sin⁻¹x 落在 [−90°, 90°]。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：由基本积分到 M2 工具箱中五已掌握幂公式、倒数与指数公式、线性性质及代换积分法，中六单元二在此基础上补齐三件新工具：分部积分法、三角代换法，以及把积分变成具体数值的定积分。举个例子：x 乘 e 的 x 次方这类两种函数相乘的被积函数，代换法无能为力，正是分部积分法的用武之地；而求抛物线下的精确面积，就要靠定积分。先建立全局，再逐一操练，是学好这一课的次序。
- 第二步：分部积分法分部积分法的公式是：u 乘 dv 的积分等于 uv 减去 v 乘 du 的积分，把一个积分拆成积的两部分，换一边再积。选 u 的优先次序是对数、反三角、代数、三角、指数，越靠前越适合当 u。举个例子：求 x eˣ 的积分，设 u 为 x、dv 为 eˣ dx，得 x eˣ 减去 eˣ 的积分，即 x eˣ − eˣ + C；求 ln x 的积分也用同一招，设 u 为 ln x、dv 为 dx，得 x ln x − x + C。课程规定一个积分最多用分部积分法两次；遇到 eˣ 乘 sin x 这类循环形式，两次分部后原式重现，移项即解。
- 第三步：三角代换法含根式的积分有标准代换路线：根号 a 方减 x 方，设 x = a sin θ，根号自动化成 a cos θ，再按 θ 的三角积分处理。两条标准结果直接背下：1/√(a²−x²) 的积分是 sin⁻¹(x/a) + C；1/(x²+a²) 的积分是 (1/a)tan⁻¹(x/a) + C。举个例子：求 1/√(9−x²) 的积分，对照标准形取 a = 3，答案就是 sin⁻¹(x3) + C。课程同时要求认识 sin⁻¹x、cos⁻¹x、tan⁻¹x 的记法与主值概念，答题时角度须落在主值范围之内。
- 第四步：定积分与微积分基本定理定积分记作 ∫ₐᵇ f(x) dx，意义是曲线与 x 轴之间有号面积的极限。计算靠微积分基本定理：若 F 的导数是 f，则定积分等于 F(b) − F(a)。性质包括上下限互换变号、上下限相同得零、区间可拆成两段、常数与和差可逐项处理。举个例子：x 的平方由零积到三，先写原函数 x³/3，代入得九。课程还要求认识哑变量：∫ₐᵇ f(x) dx 与 ∫ₐᵇ f(t) dt 完全相同，积分值与变量字母无关，换名不改变答案。
- 第五步：对称性与定积分的代换分部对称区间上的定积分可用奇偶性速算：奇函数满足 f(−x) = −f(x)，在 −a 到 a 的定积分为零；偶函数满足 f(−x) = f(x)，定积分等于零到 a 的两倍。举个例子：x 的三次方由负一积到一，直接得零，连原函数都不必写。定积分同样可用代换法与分部积分法：代换时紧记把上下限一并换成新变量的对应值；分部时先写出 uv 减 v du 的整式再代限。两者的共同失分位都是忘了换限，导致新旧变量混杂。
- 第六步：应用一：两曲线之间的面积求两曲线围成的面积分三步：先解联立方程求交点，定出积分上下限；再判断区间内哪条曲线在上，用上函数减下函数；最后积分。举个例子：y = x² 与 y = x + 2，联立解得交点 x = −1 及 x = 2，区间内直线在上，面积 = ∫₋₁²[(x+2)−x²] dx = 92。若曲线有部分在 x 轴下方，该段积分为负，面积须分段取绝对值后相加，直接整段积分会把正负面积抵销，这是面积题最大的陷阱。
- 第七步：应用二：旋转体体积（圆盘法）曲线沿坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转一周，扫出的立体叫旋转体，用圆盘法求体积：把立体切成一片片薄圆盘，半径是曲线到旋转轴的距离，厚度是 dx，每片体积是 π 乘半径平方乘 dx，全部相加的极限就是定积分 V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx。举个例子：y = √x 由零到四沿 x 轴旋转，V = π∫₀⁴ x dx = 8π；若改沿直线 y = −1 旋转，半径变成 √x + 1，被积函数随之改写。答题时先写圆盘半径，再写积分式，层次才完整。
5例题示范 Example
例题：求抛物线 y = x² 与直线 y = x + 2 所围区域的面积。
- 解联立方程 x² = x + 2，即 x² − x − 2 = 0，因式分解得 (x−2)(x+1) = 0，交点横坐标为 x = −1 及 x = 2
- 在区间 [−1, 2] 内直线在抛物线上方（以 x = 0 检验：2 > 0），故面积 = ∫₋₁² [(x+2) − x²] dx
- 求原函数：∫[(x+2)−x²] dx = x²/2 + 2x − x³/3
- 代入上下限：(2 + 4 − 83) − (12 − 2 + 13) = 103 − (−76) = 276 = 92
- 答案：所围面积为 92 平方单位。本题三个评分位：解联立方程定上下限、判断上下曲线并写出上减下、原函数正确代入；若误以 x² − (x+2) 积分会得 −92，面积不可能为负，检查符号即可拦截错误。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1分部积分法适用于哪类被积函数？举一例。
Q2求 ∫ x eˣ dx。
Q3求 ∫₋₁¹ x³ dx。
Q4曲线 y = √x 在 [0, 4] 沿 x 轴旋转一周，求旋转体体积。
Q5求 ∫ 1/(x²+4) dx。
8重点回顾 Recap
- 分部积分法处理两类函数的乘积：∫u dv = uv − ∫v du，选 u 按「对数、反三角、代数、三角、指数」优先，一个积分最多用两次。
- 三角代换对付根式：1/√(a²−x²) 积分得 sin⁻¹(x/a) + C，1/(x²+a²) 积分得 (1/a)tan⁻¹(x/a) + C；留意反三角记法与主值。
- 定积分用微积分基本定理计算：F(b) − F(a)，不须写 C；奇函数在对称区间为零，偶函数为半区间的两倍。
- 两曲线间面积：先求交点定上下限，再上减下积分；结果为负即上下弄反或漏了分段。
- 旋转体体积用圆盘法：V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx，半径是曲线到旋转轴的距离，沿平行线旋转时半径要改写。