功、能量與功率
基礎功是力沿位移所作的能量轉移，W = Fs cosθ；動能與重力位能分別用 ½mv² 和 mgh 計算，能量守恆把轉換過程串成一條鏈；功率 P = W/t 量度做功快慢，單位是瓦特。
- 功是力沿位移所作的能量轉移：W = Fs cosθ，單位焦耳；力與位移垂直時不作功
- 動能 KE = ½mv²，重力位能 PE = mgh；速率加倍，動能變四倍
- 能量守恆定律：能量只會轉換形式，不會憑空產生或消失；阻力把機械能轉為內能
文體小知識：科學知識說明文——講解功、動能、重力位能與功率的定義及公式，說明能量守恆怎樣把力與能量變化連繫起來，是力學能量部分的第一課。
§課文原文 Passage
1物理學把「功」定義為力沿位移所作的能量轉移。當力作用於物件，而物件沿力的方向移動，這個力就作了功，單位是焦耳。作功有兩個條件：要有力，也要有沿力方向的位移。舉個例子：提著書包在平路上行走，手的托力向上而位移向前，兩者互相垂直，托力其實沒有作功。
2力學最常見的兩種能量是動能和重力位能。動能是物件因運動而具有的能量，等於質量的一半乘速率的平方；重力位能是物件因位置較高而儲存的能量，等於質量乘重力加速度乘高度。舉個例子：一部纜車向上行駛，速率不變，動能不變，但高度上升，位能增加，兩者由馬達輸入的電能轉換而來。
3能量守恆定律指出：能量不會憑空產生，也不會憑空消失，只會由一種形式轉換為另一種形式，總量保持不變。物件下跌時，位能轉為動能，速率越來越大；有摩擦或空氣阻力時，部分機械能轉為內能，物件微微發熱。寫出能量轉換鏈，是解釋機械與生活現象的通用方法。
4功率描述做功的快慢，定義為每秒轉移的能量，等於功除以時間，單位是瓦特，每秒 1 焦耳的功率就是 1 瓦特。舉個例子：一部標明 600 瓦特的吸塵機，每秒把 600 焦耳的電能轉為動能、聲能與內能；連續使用 10 分鐘，消耗的電能便是 360000 焦耳。功率越大，完成同樣的功就越快。
5中五力學的計算題經常把功、能量與功率合併出題。解題時先畫出力與位移的方向，判斷夾角，再選用合適公式，最後寫明單位。舉個例子：以 250 牛頓的力與地面成 30 度角拉動行李箱前行 20 米，只有沿位移方向的分量作了功；這是 DSE 卷一常見的設問方式，步驟與單位缺一不可。
1重點摘要 Summary
功是力沿位移所作的能量轉移，W = Fs cosθ；動能與重力位能分別用 ½mv² 和 mgh 計算，能量守恆把轉換過程串成一條鏈；功率 P = W/t 量度做功快慢，單位是瓦特。
2生字卡 Vocabulary
力沿位移方向對物件所作的能量轉移；W = Fs cosθ，單位是焦耳。
物件作功的本領；能量只會轉換形式，不會憑空產生或消失。
物件因運動而具有的能量，KE = ½mv²。
物件因位置較高而儲存的能量，PE = mgh。
每秒轉移的能量，P = W/t；單位是瓦特。
功率單位；1 瓦特等於每秒 1 焦耳。
能量與功的單位；以 1 牛頓的力沿位移推動 1 米所作的功為 1 焦耳。
能量不會憑空產生或消失，只會由一種形式轉換為另一種形式。
力沿某一方向的投影；只有沿位移方向的分量才作功。
能量由一種形式變為另一種形式的過程，例如電能轉為動能與內能。
3逐步講解 Steps
- 第一步：功的定義與兩個條件功是能量轉移的量度：力作用於物件，且物件沿力的方向移動，這個力就作了功，單位是焦耳。作功必須同時滿足兩個條件：有力，以及沿力方向的位移，缺一不可。舉個例子：在超市推購物車前進，推力作了功；但雙手托著行李站立等候，雖然花了力氣，行李沒有移動，托力所作的功是零。同樣道理，用繩繫著水桶在水平面上作圓周運動，繩的拉力指向圓心，與運動方向垂直，拉力也不作功。
- 第二步：力與位移成夾角：W = Fs cosθ當力 F 與位移 s 成夾角 θ，功的公式是 W = Fs cosθ：只有沿位移方向的分量 F cosθ 作功。θ 是零度時 cosθ 等於 1，力完全沿位移，功最大；θ 是九十度時 cosθ 等於 0，功為零。舉個例子：以 250 N 的力與地面成 30° 拉行李箱前行 20 m，W = 250 × 20 × cos30° = 5000 × 0.866 ≈ 4330 J。若改為垂直向上提著行李水平走 20 m，夾角九十度，作功便是零。計算機的 cos 鍵可直接求餘弦值，答題緊記寫上單位焦耳。
- 第三步：動能 KE = ½mv²動能是物件因運動而具有的能量，公式 KE = ½mv²，m 是質量（kg），v 是速率（m s⁻¹），單位仍是焦耳。注意速率以平方出現：速率加倍，動能變成四倍。舉個例子：一輛 800 kg 的汽車以 10 m s⁻¹ 行駛，動能是 ½ × 800 × 10² = 40000 J；若速率升至 20 m s⁻¹，動能增至 160000 J，是原來的四倍。這正解釋了超速駕駛的危險：剎車時要耗散的動能隨速率平方上升，剎車距離因此大幅增加。
- 第四步：重力位能 PE = mgh重力位能是物件因位置較高而儲存的能量，公式 PE = mgh，h 是相對於所選參考面的高度，g 取 9.8 m s⁻²。質量或高度增加，位能隨之上升。舉個例子：把一瓶 0.5 kg 的水由桌面提到 2 m 高的櫃頂，位能增加 0.5 × 9.8 × 2 = 9.8 J；一名 60 kg 的學生由地面走上 5 m 高的課室，位能增加 60 × 9.8 × 5 = 2940 J，這數字正是登樓所需能量的主體，也說明為何走樓梯特別費力。
- 第五步：能量守恆與轉換鏈能量守恆定律指出，能量不會憑空產生或消失，只會由一種形式轉換為另一種形式，總量不變。力學中動能與位能不斷互換：物件下跌時位能轉為動能，速率越來越大；向上拋出時動能轉為位能，速率越來越小。不計阻力時兩者總和不變。舉個例子：一個 0.2 kg 的蘋果由 3 m 高的樹上掉下，著地前動能約等於所失位能 0.2 × 9.8 × 3 = 5.88 J；若計空氣阻力，部分能量轉為內能，總能量依然守恆。
- 第六步：功率 P = W/t功率描述做功或轉移能量的快慢，定義為每秒轉移的能量，P = W/t，單位瓦特：1 W = 1 J s⁻¹。功率越大，完成同樣的功所需時間越短。舉個例子：在 2 秒內轉移 600 J 的能量，功率是 300 W；一部 600 W 的吸塵機運作 10 分鐘即 600 秒，消耗電能 E = Pt = 600 × 600 = 360000 J，即 3.6 × 10⁵ J。代入公式前切記把時間化為秒，否則結果會相差六十倍，這是計算題最常見的失分位之一。
- 第七步：由功率估算人的輸出功率公式可以反過來求時間，也可以估算機器與人體的表現。普通人持續運動的功率約一二百瓦特，短暫爆發可達數百瓦特。舉個例子：一名 60 kg 的學生在 10 秒內走上 3 m 高的樓梯，克服重力所作的功 W = mgh = 60 × 9.8 × 3 = 1764 J，輸出功率 P = 1764 ÷ 10 ≈ 176 W；若改為跑步上去只用 5 秒，功率約 353 W，幾乎翻倍。兩種上樓方式所作的功相同，分別只在於快慢，正好說明功率量度的是「做功的速率」。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：遊客以 250 N 的力拉動行李箱，力與水平地面成 30°，行李箱沿地面前行 20 m。（a）求拉力所作的功。（cos 30° = 0.866）（b）回到家中，遊客用一部 600 W 的吸塵機吸塵 10 分鐘，求消耗的電能，以焦耳表示。
- (a) 寫出公式：W = Fs cosθ，其中 F = 250 N、s = 20 m、θ = 30°
- (a) 代入數字：W = 250 × 20 × 0.866
- (a) 計算：W ≈ 4330 J
- (b) 吸塵機：時間 t = 10 × 60 = 600 s，E = Pt = 600 × 600
- (b) 計算：E = 360000 J = 3.6 × 10⁵ J
- 答案：(a) W = Fs cosθ = 250 × 20 × 0.866 ≈ 4330 J，拉力所作的功約為 4330 焦耳。(b) E = Pt = 600 × 600 = 360000 J，吸塵機十分鐘消耗電能 3.6 × 10⁵ 焦耳。留意 (a) 必須乘 cos30°，因為力與位移成夾角；(b) 的時間必須先化為 600 秒，兩處都是常見失分位。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1作功的兩個條件是什麼？舉一個不作功的例子。
Q2以 50 N 的水平力把紙箱推前 8 m，作了多少功？
Q31000 kg 的汽車速率由 10 m s⁻¹ 增至 20 m s⁻¹，動能增加了多少？
Q4一部 600 W 的電風扇運作 5 分鐘，消耗多少電能？
Q5蘋果從樹上落下至著地前，能量怎樣轉換？
8重點回顧 Recap
- 功是力沿位移所作的能量轉移：W = Fs cosθ，單位焦耳；力與位移垂直時不作功
- 動能 KE = ½mv²，重力位能 PE = mgh；速率加倍，動能變四倍
- 能量守恆定律：能量只會轉換形式，不會憑空產生或消失；阻力把機械能轉為內能
- 功率 P = W/t 量度做功快慢，1 W = 1 J s⁻¹；代入時間必須用秒
- 解題四步：畫方向、判夾角、代公式、寫單位