什么是恒等式

1重点摘要 Summary

学什么是恒等式，知道它和普通方程有什么不同。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：恒等式是什么恒等式是一条对任何数都成立的等式：不论把什么数代入变数，等号两边永远相等。例如 2(x+1) = 2x+2：代入 x = 1，左边 = 2 × 2 = 4，右边 = 2 + 2 = 4；代入 x = 5 则两边同为 12，两次都成立。书写恒等式时常用符号 ≡ 表示「永远相等」，即 2(x+1) ≡ 2x+2。恒等式两边其实是同一条式子的两种写法，这是它与普通方程最大的分别。
2. 第二步：恒等式与方程的分别普通方程只有某些特定数值才成立：例如 x + 1 = 3，只有 x = 2 时成立，代入其他数便错，这样的等式称为方程，x 是有待求出的未知数。恒等式则对所有数值都成立，两边是永远相等的表达式，并不存在「解」的概念。判断时可以自问：这条式子是用来解出特定 x 值，还是在说明两式永远相等？前者是方程，后者是恒等式，考试选择题常拿 x + 1 = 3 与 2(x+1) = 2x+2 对比作答。
3. 第三步：怎样验证恒等式验证一条等式是否恒等式，最快捷的方法是代入两三个不同的数试算，宜包括正数、负数和零，若每次两边都相等，这条式子便很可能是恒等式。例如 3(x+2) = 3x+6，代入 x = 1 得两边都是 9，代入 x = 2 得两边都是 12。但要留意：代入只是检验，不是证明，因为不可能代尽所有数；要正式确认，必须用代数方法展开和化简，这也是考试要求写证明时唯一接受的方法。
4. 第四步：怎样正式证明正式证明恒等式的标准格式：由等式其中一边开始，展开括号、合并同类项，逐步化简，直至得出另边的式子，最后写上结论。例如证明 2(x+1) = 2x+2：左边 = 2(x+1) = 2x+2 = 右边，故得证。过程中每一步只做一个动作，保持等号与文字说明清楚；不要两边同时变换，否则推理逻辑会混乱。本课例题 3(x+2) = 3x+6 的证明一行便完成：左边展开得 3x+6，与右边相同，所以是恒等式。
5. 第五步：常见恒等式例子其实在小学阶段已接触过不少恒等式：分配律 a(b+c) = ab+ac 对任何 a、b、c 都成立；加法结合律 (a+b)+c = a+(b+c) 亦然。本课之后将学到的乘法公式，例如平方差 (a+b)(a-b) = a²-b²、完全平方 (a+b)² = a²+2ab+b²，全部都是恒等式，因此才可以在任何题目中放心套用。要记住：凡被称为「公式」的等式，都必须先被证明为恒等式，使用时才有依据。
6. 第六步：学恒等式的意义学恒等式是为之后的乘法公式打好基础：平方差、完全平方这些公式本质上就是恒等式，日后做展开和因式分解时经常使用。理解「恒等式对任何数都成立」这个特性，便能解释为何公式中的 a、b 可以代入任何值；同时，恒等式的证明训练逐步推理和清楚表达的能力，这正是几何证明与较深代数题的基本功。学好这一课，之后几个代数课题会顺利得多。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 恒等式对任何数都成立
• 方程只有某些数先对
• 验证可以代入数字试
• 正式证明要用代数
• 以后学乘法公式都是恒等式