正整數指數定律

1重點摘要 Summary

學習指數運算定律，遇到次方運算時不必逐項硬算。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：認識指數與底數指數是表示重複相乘的簡潔記法：例如 2³ = 2 × 2 × 2 = 8，其中 2 稱為底數，右上角小小的 3 稱為指數，表示底數自乘三次。書寫時指數必須寫在右上角，位置不同，意義便完全不同。幾個基本結果要牢記：任何數的一次方等於它本身，1 的任何次方仍是 1，而 10 的 n 次方就是 1 後面寫 n 個零，這些在估計數值大小時經常用到。
2. 第二步：同底相乘，指數相加第一條定律：aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，即底數相同時相乘，指數相加。原理不難理解：2³ × 2² 表示三個 2 相乘再乘兩個 2，合共五個 2 相乘，故得 2⁵ = 32。使用時底數保持不變，切勿把底數也相乘，例如 2³ × 2² 等於 2⁵ 而不是 4⁵。若式子中出現係數，係數與指數部分要分開處理再合併，例如 3a² × 2a³ = 6a⁵。
3. 第三步：同底相除，指數相減第二條定律：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ，即底數相同時相除，指數相減。以 2⁵ ÷ 2² 為例，分子原有五個 2 相乘，約去分母的兩個 2 後餘下三個，故得 2³ = 8。相減時次序不可顛倒：必須用被除數的指數減去除數的指數，因為 2² ÷ 2⁵ = 12³ = 18，與 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8 截然不同。這條定律同樣只適用於底數相同的情況。
4. 第四步：次方的次方，指數相乘第三條定律：(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ，即整個冪再取次方時，指數相乘。理由可用展開說明：(2³)² = 2³ × 2³，套用第一條定律得 2³⁺³ = 2⁶ = 64，恰好等於指數 3 與 2 相乘。這裡最常見的錯誤是把指數相加而得出 2⁵，必須分清楚「同底連乘」用加、「次方的次方」用乘。若括號內有係數，係數亦要一併取次方，例如 (2a²)³ = 8a⁶。
5. 第五步：綜合運用三條定律化簡面對較複雜的指數式，可綜合運用三條定律，按先乘後除的次序逐步化簡。例如 (2³ × 2⁴) ÷ 2²：先算括號內的乘法，指數相加得 2⁷；再算除法，指數相減得 2⁵ = 32，全程無須逐項展開。解題時宜一步只寫一條定律，清楚交代指數的加減過程；若式子包含多層括號，則由內至外逐層處理，每層只套用一條定律，便不易出錯。本課例題 (3² × 3⁴) ÷ 3³ 亦依此化簡得 3³ = 27。
6. 第六步：底數相同是使用定律的前提三條定律都有一個共同前提：底數必須完全相同，才能直接使用。若底數不同，例如 2³ × 3²，指數絕不可隨便相加或相減，只能分別計算各冪的值再相乘，得 8 × 9 = 72。檢查底數應成為解題的第一個動作：先確認各項底數一致，才判斷能否套用定律。考試中常見的陷阱正是把 2³ × 2² 與 2³ × 3² 混為一談，動筆前先圈出所有底數，即可避免這類失分。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 同底相乘，指數加
• 同底相除，指數減
• 次方的次方，指數乘
• 一定要底數相同先用得
• 用公式化簡快很多