正整数指数定律

1重点摘要 Summary

学习指数运算定律，遇到次方运算时不必逐项硬算。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：认识指数与底数指数是表示重复相乘的简洁记法：例如 2³ = 2 × 2 × 2 = 8，其中 2 称为底数，右上角小小的 3 称为指数，表示底数自乘三次。书写时指数必须写在右上角，位置不同，意义便完全不同。几个基本结果要牢记：任何数的一次方等于它本身，1 的任何次方仍是 1，而 10 的 n 次方就是 1 后面写 n 个零，这些在估计数值大小时经常用到。
2. 第二步：同底相乘，指数相加第一条定律：aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，即底数相同时相乘，指数相加。原理不难理解：2³ × 2² 表示三个 2 相乘再乘两个 2，合共五个 2 相乘，故得 2⁵ = 32。使用时底数保持不变，切勿把底数也相乘，例如 2³ × 2² 等于 2⁵ 而不是 4⁵。若式子中出现系数，系数与指数部分要分开处理再合并，例如 3a² × 2a³ = 6a⁵。
3. 第三步：同底相除，指数相减第二条定律：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ，即底数相同时相除，指数相减。以 2⁵ ÷ 2² 为例，分子原有五个 2 相乘，约去分母的两个 2 后余下三个，故得 2³ = 8。相减时次序不可颠倒：必须用被除数的指数减去除数的指数，因为 2² ÷ 2⁵ = 12³ = 18，与 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8 截然不同。这条定律同样只适用于底数相同的情况。
4. 第四步：次方的次方，指数相乘第三条定律：(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ，即整个幂再取次方时，指数相乘。理由可用展开说明：(2³)² = 2³ × 2³，套用第一条定律得 2³⁺³ = 2⁶ = 64，恰好等于指数 3 与 2 相乘。这里最常见的错误是把指数相加而得出 2⁵，必须分清楚「同底连乘」用加、「次方的次方」用乘。若括号内有系数，系数亦要一并取次方，例如 (2a²)³ = 8a⁶。
5. 第五步：综合运用三条定律化简面对较复杂的指数式，可综合运用三条定律，按先乘后除的次序逐步化简。例如 (2³ × 2⁴) ÷ 2²：先算括号内的乘法，指数相加得 2⁷；再算除法，指数相减得 2⁵ = 32，全程无须逐项展开。解题时宜一步只写一条定律，清楚交代指数的加减过程；若式子包含多层括号，则由内至外逐层处理，每层只套用一条定律，便不易出错。本课例题 (3² × 3⁴) ÷ 3³ 亦依此化简得 3³ = 27。
6. 第六步：底数相同是使用定律的前提三条定律都有一个共同前提：底数必须完全相同，才能直接使用。若底数不同，例如 2³ × 3²，指数绝不可随便相加或相减，只能分别计算各幂的值再相乘，得 8 × 9 = 72。检查底数应成为解题的第一个动作：先确认各项底数一致，才判断能否套用定律。考试中常见的陷阱正是把 2³ × 2² 与 2³ × 3² 混为一谈，动笔前先圈出所有底数，即可避免这类失分。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 同底相乘，指数加
• 同底相除，指数减
• 次方的次方，指数乘
• 一定要底数相同先用得
• 用公式化简快很多